1個のサイコロを6回振る問題

【答え】
(1) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{20}{243}\hspace{3pt}\)

(2) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{11}{32}\hspace{3pt}\)
　

【(1)の解答】
　問題 :『\(1\hspace{1pt}\)個のサイコロを\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)回振るときに、\(3\hspace{1pt}\)の倍数の目が\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)回出る確率を求めよ』

まず、\(1\hspace{1pt}\)個のサイコロを振り、\(3\hspace{1pt}\)の倍数の目が出る確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\hspace{2pt}\)となります。

反復試行の確率の公式から、\(6\hspace{1pt}\)回のうち\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)回だけ\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)の倍数の目が出る確率は $$ \begin{aligned} & {}_{6} C_4 \left(\frac{1}{3}\right)^4 \left(1-\frac{1}{3}\right)^{6-4} \\[0.7em] & = {}_{6} C_4 \left(\frac{1}{3}\right)^4 \left(\frac{2}{3}\right)^2\\[0.7em] & = 15 \times \frac{2^2}{3^6}\\[0.7em] & = \frac{20}{243}\\[0.7em] \end{aligned} $$ よって、求める確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{20}{243}\hspace{2pt}\)となります。
　

【(2)の解答】
　問題 :『\(1\hspace{1pt}\)個のサイコロを\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)回振るときに、偶数の目の出る回数が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)回以下の確率を求めよ』

サイコロを\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)回振った時に、偶数の目が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)回以下となる事象は
　・偶数の目が出ない
　・偶数の目が\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)回出る
　・偶数の目が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)回出る
の\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)つの事象の和事象となります。

\(1\hspace{1pt}\)個のサイコロを振り、偶数の目が出る確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\hspace{2pt}\)となります。

反復試行の確率の公式から、\(6\hspace{1pt}\)回サイコロを振って偶数の目が出ない確率は $$ \begin{aligned} & {}_{6} C_0 \left(\frac{1}{2}\right)^0 \left(1-\frac{1}{2}\right)^{6-0} \\[0.7em] & = {}_{6} C_0 \left(\frac{1}{2}\right)^6\\[0.7em] & = 1 \times \frac{1}{64}\\[0.7em] & = \frac{1}{64}\\[0.7em] \end{aligned} $$ と求められます。

また、\(6\hspace{1pt}\)回サイコロを振って偶数の目が\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)回出る確率は $$ \begin{aligned} & {}_{6} C_1 \left(\frac{1}{2}\right)^1 \left(1-\frac{1}{2}\right)^{6-1} \\[0.7em] & = {}_{6} C_1 \left(\frac{1}{2}\right)^1 \left(\frac{1}{2}\right)^5\\[0.7em] & = 6 \times \frac{1}{64}\\[0.7em] & = \frac{6}{64}\\[0.7em] \end{aligned} $$ と求められます。

また、\(6\hspace{1pt}\)回サイコロを振って偶数の目が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)回出る確率は $$ \begin{aligned} & {}_{6} C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(1-\frac{1}{2}\right)^{6-2} \\[0.7em] & = {}_{6} C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^4\\[0.7em] & = 15 \times \frac{1}{64}\\[0.7em] & = \frac{15}{64}\\[0.7em] \end{aligned} $$ と求められます。

ここで、『偶数の目が出ない』、『偶数の目が\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)回出る』、『偶数の目が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)回出る』という\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)つの事象は互いに排反であるから、求める確率は $$ \begin{aligned} & \frac{1}{64} + \frac{6}{64} + \frac{15}{64} \\[0.7em] & = \frac{22}{64}\\[0.7em] & = \frac{11}{32}\\[0.7em] \end{aligned} $$ したがって、\(6\hspace{1pt}\)回サイコロを振って偶数の出る回数が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)回以下となる確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{11}{32}\hspace{2pt}\)となります。
　

【関連するページ】
・反復試行の確率