◆第問目！
\({1\hspace{2pt}}\)回の試行により事象\({\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)の起こる確率が\({\hspace{1pt}p\hspace{2pt}}\)であるとします。この試行を\({\hspace{1pt}n\hspace{1pt}}\)回繰り返して行うとき、事象\({\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)が\({\hspace{1pt}r\hspace{2pt}}\)回起こる確率は $${{{}_n C_r \hspace{2pt}p^{\hspace{2pt}r} \hspace{1pt} (1-p)^{n-r}}}$$ と求められます。この公式を反復試行の確率の公式といいます。
当たりを\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)回以上引く事象は
・当たりを\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)回引く
・当たりを\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回引く
という\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの事象の和事象となります。
当たりを\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)回引く事象を\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\),当たりを\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回引く事象を\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)とします。
事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)と事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)は同時に起こらないことから、互いに排反となります。
互いに排反である事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)と事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)の和事象の確率は $${P(A \cup B) = P(A) + P(B)}$$ から求められます。
【答え】
(1) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{128}{625}\hspace{3pt}\)
(2) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{21}{3125}\hspace{3pt}\)
【(1)の解答】
問題 :『\(10\hspace{1pt}\)本のうち当たりが\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本入っているくじから、\(1\hspace{1pt}\)本引いて結果を確認して戻すことを\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回繰り返すとき、当たりを\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)回引く確率を求めよ』
まず、\(1\hspace{1pt}\)回くじを引き、当たりを引く確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{2}{10} = \frac{1}{5}\hspace{2pt}\)となります。
反復試行の確率の公式から、\(5\hspace{1pt}\)回のうち\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)回当たりを引く確率は
$$
\begin{aligned}
& {}_{5} C_2 \left(\frac{1}{5}\right)^2 \left(1-\frac{1}{5}\right)^{5-2} \\[0.7em]
& = {}_{5} C_2 \left(\frac{1}{5}\right)^2 \left(\frac{4}{5}\right)^3\\[0.7em]
& = 10 \times \frac{4^3}{5^5}\\[0.7em]
& = \frac{128}{625}\\[0.7em]
\end{aligned}
$$
よって、求める確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{128}{625}\hspace{2pt}\)となります。
【(2)の解答】
問題 :『\(10\hspace{1pt}\)本のうち当たりが\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本入っているくじから、\(1\hspace{1pt}\)本引いて結果を確認して戻すことを\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回繰り返すとき、当たりを\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)回以上引く確率を求めよ』
当たりを\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)回以上引く事象は
・当たりを\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)回引く
・当たりを\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回引く
の\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの事象の和事象となります。
当たりを\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)回引く確率を求めると、反復試行の確率の公式において\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回のうち\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)回当たりを引くとして計算すると $$ \begin{aligned} & {}_{5} C_4 \left(\frac{1}{5}\right)^4 \left(1-\frac{1}{5}\right)^{5-4} \\[0.7em] & = {}_{5} C_4 \left(\frac{1}{5}\right)^4 \left(\frac{4}{5}\right)\\[0.7em] & = 5 \times \frac{4}{5^5}\\[0.7em] & = \frac{20}{3125}\\[0.7em] \end{aligned} $$ となります。
また、当たりを\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回引く確率を求めると、反復試行の確率の公式において\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回のうち\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回当たりを引くとして計算すると $$ \begin{aligned} & {}_{5} C_5 \left(\frac{1}{5}\right)^5 \left(1-\frac{1}{5}\right)^{5-5} \\[0.7em] & = {}_{5} C_5 \times \left(\frac{1}{5}\right)^5 \\[0.7em] & = 1 \times \frac{1}{5^5}\\[0.7em] & = \frac{1}{3125}\\[0.7em] \end{aligned} $$ となります。
ここで、『当たりを\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)回引く』事象と『当たりを\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)回引く』事象は互いに排反であることから、求める確率は $${\frac{20}{3125} + \frac{1}{3125} = \frac{21}{3125}}$$ となります。
したがって、当たりを\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)回以上引く確率は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{21}{3125}\hspace{2pt}\)となります。
【関連するページ】
・反復試行の確率