◆第問目！
\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの試行について、それぞれの結果が互いに影響を与えないときに独立であるといいます。
\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの試行\(\hspace{1pt}S , T\hspace{1pt}\)が独立であるとき、試行\(\hspace{1pt}S\hspace{1pt}\)では事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)が起こり、試行\(\hspace{1pt}T\hspace{1pt}\)では事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)が起こる事象を\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)とすると、事象\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)の確率は $${P(C) = P(A)P(B)}$$ と求められます。
本問では、玉を引いた後に戻すことから、\(1\hspace{1pt}\)回目に玉を引く試行、\(2\hspace{1pt}\)回目に玉を引く試行、\(3\hspace{1pt}\)回目に玉を引く試行はそれぞれ独立となります。
『\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回とも赤玉を引く』事象を\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)、『\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回とも白玉を引く』事象を\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)とすると、\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回とも同じ色を引く事象は事象\(\hspace{1pt}A , B\hspace{1pt}\)の和事象となります。
『異なる色の玉を引く』ことの余事象が『\(3\hspace{1pt}\)回とも同じ色の球を引く』であることを利用すると簡単に計算できます。
【答え】
(1) \(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{125}{512}\hspace{3pt}\)
(2) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{19}{64}\hspace{3pt}\)
(3) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{45}{64} \hspace{3pt}\)
【(1)の解答】
問題 :『\(5\hspace{1pt}\)個の赤玉と\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の白玉が入っている袋がある。この袋から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個の玉を引き、結果を確認して元に戻すことを\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回繰り返すとき、\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回とも赤玉を引く確率を求めよ』
玉を引いた後に袋に戻すことから、\(1\hspace{1pt}\)回目に玉を引く試行、\(2\hspace{1pt}\)回目に玉を引く試行、\(3\hspace{1pt}\)回目に玉を引く試行はそれぞれ独立となります。
各試行において、赤玉を引く確率が\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{5}{8}\hspace{2pt}\)であることから、\(3\hspace{1pt}\)回とも赤玉を引く確率は
$${\frac{5}{8} \times \frac{5}{8} \times \frac{5}{8} = \frac{125}{512}}$$
となります。
【(2)の解答】
問題 :『\(5\hspace{1pt}\)個の赤玉と\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の白玉が入っている袋がある。この袋から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個の玉を引き、結果を確認して元に戻すことを\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回繰り返すとき、\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回とも同じ色を引く確率を求めよ』
『\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回とも赤玉を引く』事象を\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)、『\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回とも白玉を引く』事象を\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)とすると、\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回とも同じ色を引く事象は事象\(\hspace{1pt}A , B\hspace{1pt}\)の和事象となります。
事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)の起こる確率は、問題(1)の結果から\(\displaystyle\hspace{2pt}P(A) = \frac{125}{512}\hspace{2pt}\)となります。
また、事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)の起こる確率は、各試行において白玉を引く確率が\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{3}{8}\hspace{2pt}\)であることから $${\frac{3}{8} \times \frac{3}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{27}{512}}$$ となります。
ここで、事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)と事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)は同時に起こらないため、互いに排反となります。
すなわち、求める確率は $$ \begin{aligned} & P(A \cup B) \\[0.7em] & = P(A) + P(B) \\[0.7em] & = \frac{125}{512} + \frac{27}{512}\\[0.7em] & = \frac{152}{512}\\[0.7em] & = \frac{19}{64}\\[0.7em] \end{aligned} $$
したがって、\(3\hspace{1pt}\)回とも同じ色を引く確率は\(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{19}{64}\hspace{1pt}\)となります。
【(3)の解答】
問題 :『\(5\hspace{1pt}\)個の赤玉と\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の白玉が入っている袋がある。この袋から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個の玉を引き、結果を確認して元に戻すことを\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回繰り返すとき、異なる色の玉を引く確率を求めよ』
『異なる色の玉を引く』ことの余事象は『\(3\hspace{1pt}\)回とも同じ色の球を引く』となります。
すなわち、問題(2)の結果から、異なる色の玉を引く確率は $${1 - \frac{19}{64} = \frac{45}{64} }$$
したがって、求める確率は \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{45}{64} \hspace{1pt}\) となります。
【関連するページ】
・独立な試行の確率