◆第問目！
\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの試行について、それぞれの結果が互いに影響を与えないときに独立であるといいます。
\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの試行\(\hspace{1pt}S , T\hspace{1pt}\)が独立であるとき、試行\(\hspace{1pt}S\hspace{1pt}\)では事象\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)が起こり、試行\(\hspace{1pt}T\hspace{1pt}\)では事象\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)が起こる事象を\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)とすると、事象\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)の確率は $${P(C) = P(A)P(B)}$$ と求められます。
本問では、くじを引いた後に戻すことから、\(1\hspace{1pt}\)回目にくじを引く試行、\(2\hspace{1pt}\)回目にくじを引く試行、\(3\hspace{1pt}\)回目にくじを引く試行はそれぞれ独立となります。
『\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回目に初めて当たりを引く』とき、『\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)回目と\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)回目に外れ、\(3\hspace{1pt}\)回目に当たりを引く』となります。
『少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)回は〇〇を選ぶ』という条件のある確率を求める問題は、余事象の性質を利用することが定番です。
本問では『少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)回は当たりを引く』ことの余事象が『\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回とも外れを引く』ことであることを利用して確率を計算します。
【答え】
(1) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{1}{125}\hspace{3pt}\)
(2) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{16}{125}\hspace{3pt}\)
(3) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{61}{125} \hspace{3pt}\)
【(1)の解答】
問題 :『\(10\hspace{1pt}\)本のうち当たりが\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本入っているくじから\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)本引き、結果を確認して元に戻すことを\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回繰り返すとき、\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回とも当たりを引く確率を求めよ』
くじを引いた後に戻すことから、\(1\hspace{1pt}\)回目にくじを引く試行、\(2\hspace{1pt}\)回目にくじを引く試行、\(3\hspace{1pt}\)回目にくじを引く試行はそれぞれ独立となります。
各試行において、当たりを引く確率は\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{2}{10}\hspace{1pt}\)であることから、\(3\hspace{1pt}\)回とも当たりを引く確率は
$${\frac{2}{10} \times \frac{2}{10} \times \frac{2}{10} = \frac{1}{125}}$$
となります。
【(2)の解答】
問題 :『\(10\hspace{1pt}\)本のうち当たりが\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本入っているくじから\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)本引き、結果を確認して元に戻すことを\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回繰り返すとき、\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回目に初めて当たりを引く確率を求めよ』
『\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回目に初めて当たりを引く』とき、『\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)回目と\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)回目に外れを引き、\(3\hspace{1pt}\)回目に当たりを引く』こととなります。
各試行において、当たりを引く確率は\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{2}{10}\hspace{1pt}\)、外れを引く確率は\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{8}{10}\hspace{1pt}\)であることから、\(3\hspace{1pt}\)回目に初めて当たりを引く確率は
$${\frac{8}{10} \times \frac{8}{10} \times \frac{2}{10} = \frac{16}{125}}$$
となります。
【(3)の解答】
問題 :『\(10\hspace{1pt}\)本のうち当たりが\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本入っているくじから\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)本引き、結果を確認して元に戻すことを\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)回繰り返すとき、少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)回は当たりを引く確率を求めよ』
『少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)回は当たりを引く』ことの余事象は『\(3\hspace{1pt}\)回とも外れを引く』となります。
各試行において、外れを引く確率は\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{8}{10}\hspace{1pt}\)であることから、\(3\hspace{1pt}\)回とも外れを引く確率は $${\frac{8}{10} \times \frac{8}{10} \times \frac{8}{10} = \frac{64}{125}}$$ となります。
すなわち、少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)回は当たりを引く確率は $${1 - \frac{64}{125} = \frac{61}{125} }$$
したがって、求める確率は \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{61}{125} \hspace{1pt}\) となります。
【関連するページ】
・独立な試行の確率