組み合わせnCrを含む方程式

【答え】
　\(\large \hspace{1pt}n = 4\hspace{1pt}\)
　

【解答】
　問題 :『\(\hspace{2pt}{}_{n+2}C_{n-1} + {}_{n+1}C_{n-1} + {}_{2(n+1)}C_{2n+1} = 40\) を満たす整数\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)を求めよ。 ただし、\(n\hspace{1pt}\)は\(\hspace{1pt}n \geqq 2\hspace{1pt}\)を満たす整数とする』

まず、組み合わせの公式の性質 $${}_nC_r = {}_nC_{n-r}$$ から、問題の式を変形すると $${{}_{n+2}C_{3} + {}_{n+1}C_{2} + {}_{2(n+1)}C_{1} = 40}$$ となります。

上式の左辺を計算すると

となります。

すなわち

となります。

ここで、(1)式の左辺の\(\hspace{1pt}(n+1)\hspace{1pt}\)と\(\hspace{1pt}(n^2 +5n + 12)\hspace{1pt}\)の満たす条件を整理します。

\(n \geqq 2\hspace{1pt}\)から\(\hspace{2pt}n+1 \geqq 3\hspace{2pt}\)となります。
また、\(n^2 +5n + 12 \geqq 26\hspace{2pt}\)となります。

さらに、\((n+1)\hspace{1pt}\)と\(\hspace{1pt}(n^2 +5n + 12)\hspace{1pt}\)の差を求めると $$\begin{aligned} \hspace{10pt} &(n^2 +5n + 12) - (n+1)\\[0.7em] & = n^2 +4n +11 \hspace{10pt} \\[0.7em] & = (n+2)^2 +7 > 0 \hspace{10pt} \\[0.7em] \end{aligned}$$ であることから $${n^2 +5n + 12 > n+1}$$ となります。

ここで、\(2\hspace{1pt}\)つの正の整数の積が\(\hspace{1pt}240\hspace{1pt}\)になる数字の組み合わせは $$\begin{aligned} &(240 , 1)\hspace{2pt},\hspace{2pt}(120 , 2)\hspace{2pt},\hspace{2pt}(80 , 3)\hspace{2pt},\\[0.7em] & (60 , 4)\hspace{7pt},\hspace{2pt}(48 , 5)\hspace{8pt},\hspace{2pt}(40 , 6)\hspace{2pt}, \\[0.7em] & (30 , 8)\hspace{7pt},\hspace{2pt}(24 , 10)\hspace{3pt},\hspace{2pt}(20 , 12)\hspace{2pt},\\[0.7em] & (16 , 15)\\[0.7em] \end{aligned}$$ となります。

上記の数字の組み合わせのうち、\(n+1 \geqq 3\hspace{1pt}\)と\(\hspace{1pt}n^2 +5n + 12 \geqq 26\hspace{1pt}\)から、以下の\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)個に絞られます。 $$\begin{aligned} &(80 , 3)\hspace{2pt},\hspace{2pt}(60 , 4)\hspace{2pt},\hspace{2pt}(48 , 5)\hspace{2pt},\\[0.7em] &(40 , 6)\hspace{2pt},\hspace{2pt}(30 , 8)\\[0.7em] \end{aligned}$$ また、\(n^2 +5n + 12 > n+1\hspace{1pt}\)であることから $$\begin{aligned} &(n^2 +5n + 12 , n+1)\\[0.7em] & = (80 , 3) , (60 , 4) , (48 , 5) , \\[0.7em] & \hspace{15pt} (40 , 6) , (30 , 8) \\[0.7em] \end{aligned}$$ と対応します。

ここで、\((n^2 +5n + 12 , n+1) = (48 , 5)\hspace{1pt}\)のとき、\(n + 1 = 5\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}n = 4\hspace{1pt}\)となります。
このとき、\(n^2 +5n + 12 = 48\hspace{1pt}\)となります。

その他の数字の組 $$(80 , 3) , (60 , 4) , (40 , 6) , (30 , 8)$$ では、式を満たす整数\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)が存在ません。

したがって、求める整数\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)は\(\hspace{1pt}n=4\hspace{1pt}\)となります。
　

【入試本番に向けたアドバイス】
本問は、組み合わせ\(\hspace{1pt}{}_n C_r\hspace{1pt}\)を含む方程式から整数\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)を求める問題です。

問題の式を変形すると $${(n+1) (n^2 +5n + 12) =240 }$$ という式になります。

整数の和や積、二乗した値は整数となることから、左辺は (整数)×(整数) となります。

つまり、かけ合わせて\(\hspace{1pt}240\hspace{1pt}\)となる整数の組を見つける必要があります。

以下のように計算すると、素早く整数の組を見つけることができます。

まず、\(240\hspace{1pt}\)を素因数分解すると $${240 = 2^4 \times 3^1 \times 5^1}$$ となります。

次に、素因数分解された結果\(\hspace{1pt}2^4 \times 3^1 \times 5^1\hspace{1pt}\)から、選ぶ数字の数ごとに場合分けし、『選んだ数字の積』と『残った数字の積』の組を並べます。

・1つの数字を選ぶ場合
　　\(\hspace{1pt}(2 \hspace{2pt},\hspace{2pt} 2^3 \cdot 3 \cdot 5)\hspace{1pt}\) , \(\hspace{1pt}(3 \hspace{2pt}, \hspace{2pt}2^4 \cdot 5)\hspace{1pt}\),
　　\(\hspace{1pt}(5\hspace{2pt} ,\hspace{2pt} 2^4 \cdot 3)\hspace{1pt}\)

すなわち \(\hspace{1pt}(2 , 120) , (3 , 80) , (5 , 48)\)

・2つの数字を選ぶ場合
　　\(\hspace{1pt}(2^2 \hspace{2pt},\hspace{2pt} 2^2 \cdot 3 \cdot 5)\hspace{1pt}\) , \(\hspace{1pt}(2 \cdot 3 \hspace{2pt},\hspace{2pt} 2^3 \cdot 5)\hspace{1pt}\),
　　\(\hspace{1pt}(2 \cdot 5 \hspace{2pt}, \hspace{2pt}2^3 \cdot 3)\hspace{9pt}\) , \(\hspace{1pt}(3 \cdot 5\hspace{2pt} ,\hspace{2pt} 2^4 )\hspace{1pt}\)

すなわち \(\hspace{1pt}(4 , 60) , (6 , 40) , (10 , 24) , (15 , 16)\)

・3つの数字を選ぶ場合
　　\(\hspace{1pt}(2^3\hspace{2pt} ,\hspace{2pt} 2 \cdot 3 \cdot 5)\hspace{1pt}\) , \(\hspace{1pt}(2^2 \cdot 3 \hspace{2pt}, \hspace{2pt}2^2 \cdot 5)\hspace{1pt}\)

すなわち \(\hspace{1pt}(8 , 30) , (12 , 20) \)

素因数分解の結果から、\(240\hspace{1pt}\)は\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)個の数字の積ですが、半分の\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の数字を選ぶ場合まで調べれば、全ての組み合わせを調べることができます。

上記の数字の組み合わせに\(\hspace{1pt}(240 ,1 )\hspace{1pt}\)を加えれば全ての整数の組を求められます。

未知数の整数\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)を含む組み合わせの問題では、本問のように積がある数となるような\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの整数を求める出題パターンが存在します。
整数の組を素早く求められるように練習しておきましょう。
　

【関連するページ】
・組み合わせの公式