5人をグループに分ける問題

【答え】
(1) \(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)通り
(2) \(\hspace{1pt}12\hspace{1pt}\)通り
(3) \(\hspace{1pt}20\hspace{1pt}\)通り
(4) \(\hspace{1pt}51\hspace{1pt}\)通り
　

【(1)の解答】
　問題 :『\(\hspace{1pt}A , B , C , D , E\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)人を\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つ以上のグループに分けるとき、\(A\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人のグループにいる分け方は何通りか求めよ。
　ただし、グループ同士に区別はないとする。また、どのグループも少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人は含むとする。』
　

\(A\hspace{1pt}\)以外の\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人から\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人を選び\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人のグループを作り、残りの\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人をもう\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)つのグループに選ぶと考えればよいから $${ {}_4 C_3 \times {}_1 C_1 = 4}$$ したがって、\(4\hspace{1pt}\)通りと求められます。
　

【(2)の解答】
　問題 :『\(\hspace{1pt}A , B , C , D , E\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)人を\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つ以上のグループに分けるとき、\(A\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人のグループにいる分け方は何通りか求めよ。
　ただし、グループ同士に区別はないとする。また、どのグループも少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人は含むとする。』
　

\(A\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人のグループにいるときのグループ分けの方法は
　[1] \(3\hspace{1pt}\)人、\(2\hspace{1pt}\)人のグループに分ける
　[2] \(3\hspace{1pt}\)人、\(1\hspace{1pt}\)人、\(1\hspace{1pt}\)人のグループに分ける
の\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの方法があります。
　

・[1] \(3\hspace{1pt}\)人、\(2\hspace{1pt}\)人のグループに分ける場合
　\(A\hspace{1pt}\)以外の\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人を選び\(3\hspace{1pt}\)人のグループとし、残りの\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人を\(2\hspace{1pt}\)人のグループに分けると考えます。

\(A\hspace{1pt}\)以外の\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人を選べばよいので $${ {}_4 C_2 \times {}_2 C_2= 6}$$ から、\(6\hspace{1pt}\)通りと求められます。
　

・[2] \(3\hspace{1pt}\)人、\(1\hspace{1pt}\)人、\(1\hspace{1pt}\)人のグループに分ける場合
　\(A\hspace{1pt}\)以外の\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人を選び\(3\hspace{1pt}\)人のグループとし、さらに残りの\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人から\(1\hspace{1pt}\)人を選び、残りの\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人を\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人のグループにすると考えると $${ {}_4 C_2 \times {}_2 C_1 \times {}_1 C_1 \div 2! = 6}$$ から、\(6\hspace{1pt}\)通りと求められます。
(上式において\(\hspace{1pt}2!\hspace{1pt}\)で割るのは\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人のグループは区別ができないためです。)

よって、[1],[2]より求めるグループ分けの方法は\(\hspace{3pt}6 + 6 = 12\hspace{3pt}\)より\(\hspace{1pt}12\hspace{1pt}\)通りとなります。
　

【(3)の解答】
　問題 :『\(\hspace{1pt}A , B , C , D , E\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)人を\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つ以上のグループに分けるとき、\(A\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人のグループにいる分け方は何通りか求めよ。
　ただし、グループ同士に区別はないとする。また、どのグループも少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人は含むとする。』
　

\(A\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人のグループにいるときのグループ分けの方法は
　[1] \(3\hspace{1pt}\)人、\(2\hspace{1pt}\)人のグループに分ける
　[2] \(2\hspace{1pt}\)人、\(2\hspace{1pt}\)人、\(1\hspace{1pt}\)人のグループに分ける
　[3] \(2\hspace{1pt}\)人、\(1\hspace{1pt}\)人、\(1\hspace{1pt}\)人、\(1\hspace{1pt}\)人のグループに分ける
の\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)つの方法があります。
　

・[1] \(3\hspace{1pt}\)人、\(2\hspace{1pt}\)人のグループに分ける場合
　\(A\hspace{1pt}\)以外の\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人を選び\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人のグループとし、残りの\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人を\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人のグループとすればよいので $${ {}_4 C_1 \times {}_3 C_3 = 4}$$ から、\(4\hspace{1pt}\)通りと求められます。
　

・[2] \(2\hspace{1pt}\)人、\(2\hspace{1pt}\)人、\(1\hspace{1pt}\)人のグループに分ける場合
　\(A\hspace{1pt}\)以外の\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人を選び\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人のグループとし、さらに残りの\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人から\(2\hspace{1pt}\)人を選び、残りの\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人を\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人のグループにすると $${ {}_4 C_1 \times {}_3 C_2 \times {}_1 C_1 = 12}$$ から、\(12\hspace{1pt}\)通りと求められます。

(上式において、\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人のグループが\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つできますが、問題(2)と異なり\(\hspace{1pt}2!\hspace{1pt}\)で割らない理由は、片方のグループには\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)がいるという条件がつくため、グループの区別ができるためです。)
　

・[3] \(2\hspace{1pt}\)人、\(1\hspace{1pt}\)人、\(1\hspace{1pt}\)人、\(1\hspace{1pt}\)人のグループに分ける場合
　\(A\hspace{1pt}\)以外の\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人を選び\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人のグループとし、さらに残りの\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人から\(1\hspace{1pt}\)人ずつ選び、\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人のグループにすると $$ \begin{aligned} & {}_4 C_1 \times {}_3 C_1 \times {}_2 C_1 \times {}_1 C_1 \div 3! \\[0.7em] & = 4 \\[0.7em] \end{aligned} $$ から、\(4\hspace{1pt}\)通りと求められます。

(上式において\(\hspace{1pt}3!\hspace{1pt}\)で割るのは\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)つの\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人のグループは区別ができないためです。)

よって、[1],[2],[3]より求めるグループ分けの方法は\(\hspace{3pt}4 + 12 +4= 20\hspace{3pt}\)より\(\hspace{1pt}20\hspace{1pt}\)通りとなります。
　

【(4)の解答】
　問題 :『\(\hspace{1pt}A , B , C , D , E\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)人を\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つ以上のグループに分けるとき、全ての分け方は何通りか求めよ。
　ただし、グループ同士に区別はないとする。また、どのグループも少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人は含むとする。』
　

全てのグループ分けの方法は
　[1] \(4\hspace{1pt}\)人、\(1\hspace{1pt}\)人のグループに分ける
　[2] \(3\hspace{1pt}\)人、\(2\hspace{1pt}\)人のグループに分ける
　[3] \(3\hspace{1pt}\)人、\(1\hspace{1pt}\)人、\(1\hspace{1pt}\)人のグループに分ける
　[4] \(2\hspace{1pt}\)人、\(2\hspace{1pt}\)人、\(1\hspace{1pt}\)人のグループに分ける
　[5] \(2\hspace{1pt}\)人、\(1\hspace{1pt}\)人、\(1\hspace{1pt}\)人、\(1\hspace{1pt}\)人のグループに分ける
　[6] \(1\hspace{1pt}\)人ずつ\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)つのグループに分ける
の\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)つの方法があります。
　

・[1] \(4\hspace{1pt}\)人、\(1\hspace{1pt}\)人のグループに分ける場合
　\(5\hspace{1pt}\)人から\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人を選び、残りの\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人を\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人のグループとすればよいので $${ {}_5 C_4 \times {}_1 C_1 = 5}$$ から、\(5\hspace{1pt}\)通りと求められます。
　

・[2] \(3\hspace{1pt}\)人、\(2\hspace{1pt}\)人のグループに分ける場合
　\(5\hspace{1pt}\)人から\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人を選び、残りの\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人を\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人のグループとすればよいので $${ {}_5 C_3 \times {}_2 C_2 = 10}$$ から、\(10\hspace{1pt}\)通りと求められます。
　

・[3] \(3\hspace{1pt}\)人、\(1\hspace{1pt}\)人、\(1\hspace{1pt}\)人のグループに分ける場合
　\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)人から\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人を選び、さらに残りの\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人ずつ選べばよいので $${ {}_5 C_3 \times {}_2 C_1 \times {}_1 C_1 \div 2! = 10}$$ から、\(10\hspace{1pt}\)通りと求められます。

(上式において\(\hspace{1pt}2!\hspace{1pt}\)で割るのは\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人のグループは区別ができないためです。)

・[4] \(2\hspace{1pt}\)人、\(2\hspace{1pt}\)人、\(1\hspace{1pt}\)人のグループに分ける場合
　\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)人から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人を選び、さらに残りの\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人から\(2\hspace{1pt}\)人を選び、残りの\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人を\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人のグループとすればよいので $${ {}_5 C_2 \times {}_3 C_2 \times {}_1 C_1 \div 2! = 15}$$ から、\(15\hspace{1pt}\)通りと求められます。

(上式において\(\hspace{1pt}2!\hspace{1pt}\)で割るのは\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人のグループは区別ができないためです。)
　

・[5] \(2\hspace{1pt}\)人、\(1\hspace{1pt}\)人、\(1\hspace{1pt}\)人、\(1\hspace{1pt}\)人のグループに分ける場合
　\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)人から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人を選び、さらに残りの\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人ずつ選べばよいので $$ \begin{aligned} & {}_5 C_2 \times {}_3 C_1 \times {}_2 C_1 \times {}_1 C_1 \div 3! \\[0.7em] & = 10 \\[0.7em] \end{aligned} $$ から、\(10\hspace{1pt}\)通りと求められます。

(上式において\(\hspace{1pt}3!\hspace{1pt}\)で割るのは\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)つの\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人のグループは区別ができないためです。)
　

・[6] \(1\hspace{1pt}\)人ずつの\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)つのグループに分ける場合
　\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)人を\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人ずつ選びグループ分けする方法は\(\hspace{1pt}5!\hspace{1pt}\)通りありますが、それぞれのグループは区別できないため\(\hspace{1pt}5!\hspace{1pt}\)で割ることになり、\(1\hspace{1pt}\)通りとなります。

よって、[1],[2],[3],[4],[5],[6]より求めるグループ分けの方法は\(\hspace{3pt}5 + 10 +10 + 15 + 10 + 1= 51\hspace{3pt}\)通りとなります。
　

【入試本番に向けたアドバイス】
本問のような組み分けの問題は、入試問題でも頻出のテーマとなっています。

組み分けの問題はグループ同士に区別があるかが重要となります。
ここでは、組み分け問題でよく出題されるパターンをまとめておきます。

例えば、\(6\hspace{1pt}\)人をグループ分けする問題の計算例を示します。

・[1] \(6\hspace{1pt}\)人を\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人、\(2\hspace{1pt}\)人に分ける
　　グループ同士が区別できるため $${{}_6 C_4 \times {}_2 C_2 = 15}$$

・[2] \(6\hspace{1pt}\)人を\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人のグループ\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)、\(3\hspace{1pt}\)人のグループ\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)に分ける
　　グループ同士が区別できるため $${{}_6 C_3 \times {}_3 C_3 = 20}$$

・[3] \(6\hspace{1pt}\)人を\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人、\(3\hspace{1pt}\)人に分ける
　　グループ同士が区別できないため $${{}_6 C_3 \times {}_3 C_3 \div 2! = 10}$$

・[4] \(6\hspace{1pt}\)人を\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人、\(2\hspace{1pt}\)人、\(2\hspace{1pt}\)人に分ける
　　グループ同士が区別できないため $${{}_6 C_2 \times {}_4 C_2 \times {}_2 C_2 \div 3!= 15}$$

特に、区別できない\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)つのグループに分けるとき、\(3\hspace{1pt}\)ではなく\(\hspace{1pt}3!\hspace{1pt}\)で割るところが間違いやすいため、注意が必要です。
　

【関連するページ】
・組み合わせの公式