◆第問目！
異なる\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)個の中から\(\hspace{1pt}r\hspace{1pt}\)個を選ぶときの総数は『組み合わせの公式』から
により求められます
正\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)角形の\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の頂点を結んでできる三角形の数は、『\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)個の頂点から\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の頂点を選ぶ組み合わせの数』から求めることができます。
正\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)角形の\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個の頂点を結んでできる四角形の数は、『\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)個の頂点から\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個の頂点を選ぶ組み合わせの数』から求めることができます。
対角線の本数を求める場合、問題(1)(2)と同様に『\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)個の頂点から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の頂点を選ぶ組み合わせ』を計算に利用しますが、そのまま解答すると不正解となります。
組み合わせの総数を求める問題では、常に例外は存在しないかを考えて計算しましょう。
問題(2)から、正\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)角形の\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)個の頂点から\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個の頂点を選ぶと、正\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)角形の内部に四角形が作られます。
この四角形の対角線の交点は、正\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)角形の\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個の頂点から作られる\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本の対角線の交点と対応します。
【答え】
(1) \(\displaystyle\frac{N (N-1) (N-2)}{6}\hspace{2pt}\)個
(2) \(\displaystyle \frac{N (N-1) (N-2) (N-3)}{24}\hspace{2pt}\)個
(3) \(\displaystyle \frac{N (N-3) }{ 2 }\hspace{2pt}\)本
(4) \(\displaystyle \frac{N (N-1) (N-2) (N-3)}{24}\hspace{2pt}\)個
【(1)の解答】
問題 :『正\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)角形の\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の頂点を結んで作られる三角形の数を求めよ』
問題(1)は、正\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)角形の\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)個の頂点から\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の頂点を選んだ組み合わせの数と考えることができます。
すなわち $$ \begin{aligned} {}_N C_3 & = \frac{{}_N P_3}{3!}\\[0.7em] & =\frac{N \cdot (N-1) \cdot (N-2)}{3 \cdot 2 \cdot 1}\\[0.7em] & =\frac{N (N-1) (N-2)}{6}\\[0.7em] \end{aligned} $$ となります。
したがって、正\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)角形の\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の頂点を結んで作られる三角形の数は\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{N (N-1) (N-2)}{6}\hspace{1pt}\)個となります。
【(2)の解答】
問題 :『正\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)角形の\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個の頂点を結んで作られる四角形の数を求めよ』
問題(2)は、正\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)角形の\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)個の頂点から\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個の頂点を選んだ組み合わせの数と考えることができます。
すなわち
となります。
したがって、正\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)角形の\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個の頂点を結んで作られる四角形の数は\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{N (N-1) (N-2) (N-3)}{24}\hspace{1pt}\)個となります。
【(3)の解答】
問題 :『正\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)角形の対角線の数を求めよ』
まず、正\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)角形の\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)個の頂点から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の頂点を選んだ線分の数を求めます。
すなわち $$ \begin{aligned} {}_N C_2 & = \frac{{}_N P_2}{2!}\\[0.7em] & =\frac{N \cdot (N-1) }{ 2 \cdot 1}\\[0.7em] & = \frac{N (N-1) }{ 2 }\\[0.7em] \end{aligned} $$ となります。
ここで、\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の頂点を選んだ線分のうち、正\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)角形の辺は対角線ではないため、上記の線分の数から辺の数を引きます。
すなわち $$ \frac{N (N-1) }{ 2 } - N = \frac{N (N-3) }{ 2 } $$ となります。
したがって、正\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)角形の対角線の数は\(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{N (N-3) }{ 2 }\hspace{1pt}\)本となります。
【(4)の解答】
問題 :『正\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)角形の対角線の交点のうち、正\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)角形の内部にある交点の数を求めよ』
問題(2)から、正\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)角形の\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)個の頂点から\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個の頂点を選ぶと、正\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)角形の内部に四角形が作られます。
この四角形の対角線の交点は、正\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)角形の\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個の頂点から作られる\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)本の対角線の交点と対応します。
したがって、求める対角線の交点の数は、問題(2)と同様に正\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)角形における四角形の数を数えればよいので、\(\displaystyle\frac{N (N-1) (N-2) (N-3)}{24}\hspace{1pt}\)個となります。
【入試本番に向けたアドバイス】
本問は正\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)角形の頂点を結んでできる三角形、四角形、対角線の数を求める問題です。
本問の類題として、『正十二角形の頂点を結んでできる図形』や『円周上を\(\hspace{1pt}12\hspace{1pt}\)等分する点を結んでできる図形』に関する問題がありますが、同じような考え方で解くことができます。
本問のような正\(\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)角形に関する問題では、まず正五角形など簡単な図形を描いてから考えると解きやすいです。
また、正五角形であれば頂点を結んだ三角形、四角形、対角線を簡単に数えることができるため、解答後の検算にも利用しましょう。
【関連するページ】
・組み合わせの公式