円周に並んだ点のうち3点を結んだ三角形の数

【答え】
(1) \(\displaystyle\hspace{1pt} 220\hspace{1pt}\)通り
(2) \(\displaystyle\hspace{1pt} 4\hspace{1pt}\)通り
(3) \(\displaystyle\hspace{1pt} 48\hspace{1pt}\)通り
(4) \(\displaystyle\hspace{1pt} 60\hspace{1pt}\)通り
　

【(1)の解答】
　問題 :『円周上を\(\hspace{1pt}12\hspace{1pt}\)等分する点\(\hspace{1pt}A_i\hspace{1pt}\)\(\hspace{1pt}(1 \leqq i \leqq 12)\hspace{1pt}\)がある。これらの点から異なる\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)点を選び、選ばれた点を頂点とする三角形を作るとき、三角形が何通りできるか求めよ』

問題(1)は、円周上の\(\hspace{1pt}12\hspace{1pt}\)個の点から\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の点を選んだ組み合わせの数と考えることができます。

すなわち $$ \begin{aligned} {}_{12} C_3 & = \frac{{}_{12} P_3}{3!}\\[0.7em] & =\frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1}\\[0.7em] & =220\\[0.7em] \end{aligned} $$ となります。

したがって、作られる三角形の数は\(\displaystyle\hspace{1pt}220\hspace{1pt}\)通りとなります。
　

【(2)の解答】
　問題 :『円周上を\(\hspace{1pt}12\hspace{1pt}\)等分する点\(\hspace{1pt}A_i\hspace{1pt}\)\(\hspace{1pt}(1 \leqq i \leqq 12)\hspace{1pt}\)がある。これらの点から異なる\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)点を選び、選ばれた点を頂点とする三角形を作るとき、正三角形が何通りできるか求めよ』

点と点の間の弧の長さが等しくなるような\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)点を選ぶと、三辺が等しい長さの三角形となります。

まず、点\(\hspace{1pt}A_1\hspace{1pt}\)を基準とする点とします。
点\(\hspace{1pt}A_1\hspace{1pt}\)を頂点にもつ正三角形は\(\hspace{1pt}\bigtriangleup A_1 A_5 A_9\hspace{1pt}\)となります。

次に、基準とした点\(\hspace{1pt}A_1\hspace{1pt}\)を、隣りの点に回転させた点\(\hspace{1pt}A_2\hspace{1pt}\)を頂点にもつ正三角形は\(\hspace{1pt}\bigtriangleup A_2 A_6 A_{10}\hspace{1pt}\)となります。

このように基準とした点から、\(1\hspace{1pt}\)点ずつ回転させた三角形を数えると\(\hspace{2pt}\bigtriangleup A_3 A_7 A_{11}\hspace{1pt}\)と\(\bigtriangleup A_4 A_8 A_{12}\hspace{1pt}\)も正三角形であることが分かります。

さらに三角形を回転させると、すでに数えた正三角形と重複することから、求める正三角形の数は\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)通りと数えることができます。
　

【(3)の解答】
　問題 :『円周上を\(\hspace{1pt}12\hspace{1pt}\)等分する点\(\hspace{1pt}A_i\hspace{1pt}\)\(\hspace{1pt}(1 \leqq i \leqq 12)\hspace{1pt}\)がある。これらの点から異なる\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)点を選び、選ばれた点を頂点とする三角形を作るとき、正三角形でない二等辺三角形が何通りできるか求めよ』

『\(2\hspace{1pt}\)つの辺の長さが等しい』ことを『ある\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)点から弧の長さが等しい\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの点を選ぶ』と考えて、二等辺三角形となる点の選び方を求めます。

まず、点\(\hspace{1pt}A_1\hspace{1pt}\)を基準とする点とします。

点\(\hspace{1pt}A_1\hspace{1pt}\)を頂点にもつ二等辺三角形は、点\(\hspace{1pt}A_1\hspace{1pt}\)からの弧の長さが等しくなる\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)点を選べばよいので、\(\bigtriangleup A_1 A_2 A_{12}\hspace{1pt}\)、\(\bigtriangleup A_1 A_3 A_{11}\hspace{1pt}\)、\(\bigtriangleup A_1 A_4 A_{10}\hspace{1pt}\)、\(\bigtriangleup A_1 A_6 A_{8}\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)通りとなります。

(本問は正三角形を除外するため、\(\hspace{2pt}\bigtriangleup A_1 A_5 A_{9}\hspace{1pt}\)を数えない点に注意が必要です。)

次に、基準とした点\(\hspace{1pt}A_1\hspace{1pt}\)を回転させると考えると、\(12\hspace{1pt}\)個の点に対し、それぞれ\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)通りの二等辺三角形が作られることになります。

したがって、求める二等辺三角形の数は $${12 \times 4 = 48}$$ と求められます。
　

【(4)の解答】
　問題 :『円周上を\(\hspace{1pt}12\hspace{1pt}\)等分する点\(\hspace{1pt}A_i\hspace{1pt}\)\(\hspace{1pt}(1 \leqq i \leqq 12)\hspace{1pt}\)がある。これらの点から異なる\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)点を選び、選ばれた点を頂点とする三角形を作るとき、直角三角形が何通りできるか求めよ』

タレスの定理から、\(1\hspace{1pt}\)辺が円の直径となるように円周上の異なる\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)点を選ぶと、選ばれた点を頂点とする三角形は直角三角形となります。

まず、点\(\hspace{1pt}A_1\hspace{1pt}\)を基準とする点とします。
このとき、点\(\hspace{1pt}A_1\hspace{1pt}\)と点\(\hspace{1pt}A_7\hspace{1pt}\)を選んだときに、一辺が円の直径となります。

他の\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)点の選び方は、下図のように\(\hspace{1pt}A_1 , A_7 \hspace{1pt}\)以外の点を選べばよいので\(\hspace{1pt}10\hspace{1pt}\)通りとなります。

次に、基準とした点\(\hspace{1pt}A_1\hspace{1pt}\)を回転させると考えると、点\(\hspace{1pt}A_1 , A_2 , A_3 , A_4, A_5 , A_6\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)個の点に対し、それぞれ\(\hspace{1pt}10\hspace{1pt}\)通りの直角三角形が作られることになります。
(点\(\hspace{1pt}A_7 , A_8 , A_9 , A_{10}, A_{11} , A_{12}\hspace{1pt}\)は重複するため数えません。)

したがって、求める直角三角形の数は $${10 \times 6 = 60}$$ と求められます。
　

【入試本番に向けたアドバイス】
円周上に等間隔にある点を結んだ図形の数を数える問題は、場合の数の範囲では頻出のテーマの一つです。

本問の類題として、『正十二角形の頂点を結んでできる図形』や『円周上を\(\hspace{1pt}9\hspace{1pt}\)等分する点を結んでできる図形』の問題などがありますが、同じ考え方で解くことができます。

本問のような円形に並んだ点を結んでできる図形の数の問題は、力技で全ての場合を数えようとすると、数え漏れや重複が発生しがちです。

そこで、まず基準となる点を決めて、その点において条件を満たす図形の数を数えます。
次に、その点を回転させて全体の数を数えるようにします。
　

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