◆第問目！
\({1\hspace{1pt}}\)から\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)までの番号が振られた玉の場合について\(\hspace{1pt}A < B < B\hspace{1pt}\)となる場合の数は
$$
\begin{aligned}
(A,B,C) = & \hspace{2pt}(1,2,3) , (1,2,4) ,\\[0.7em]
& \hspace{2pt} (1,3,4) , (2,3,4)\\
\end{aligned}
$$
のように数字が出ると、\(A < B < C \hspace{1pt}\)という大小関係となります。
玉の数が具体的に与えられている場合はこのように数え上げることが可能ですが、本問は玉の数が\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)個であるため、別の方法を見つけて答える必要があります。
そこで、\({1\hspace{1pt}}\)から\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)までの数字から異なる\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)つの数字を選ぶとします。
このとき、異なる\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)つの数字を\({\hspace{2pt} A < B < C \hspace{2pt}}\)という大小関係になるように割り当てればよいことになります。
例えば、\({1\hspace{1pt}}\)から\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)までの番号が振られた玉の場合に、\((1,3,4)\hspace{1pt}\)という数字の組み合わせを選んだとき、その大小関係は\(\hspace{1pt}1 < 3 < 4\hspace{1pt}\)と\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)通りに定めることができます。
問題(1)と同様に考えることができます。
\({\hspace{1pt}1\hspace{1pt}}\)から\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)までの数字から異なる\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの数字を選び、選んだ\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの数字を\({\hspace{2pt} B < C \hspace{2pt}}\)という大小関係になるように割り当てると考えます。
このとき、\(A\hspace{1pt}\)の値は\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)の値によって\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)通りに定められます。
\({ A \leqq B \leqq C \hspace{2pt}}\)となる事象は
・[1]\({\hspace{3pt} A < B < C \hspace{2pt}}\)
・[2]\({\hspace{3pt} A = B < C \hspace{2pt}}\)
・[3]\({\hspace{3pt} A < B = C \hspace{2pt}}\)
・[4]\({\hspace{3pt} A = B = C \hspace{2pt}}\)
の\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)つの事象の和事象となります。
【答え】
(1) \(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{n(n-1)(n-2)}{6}\hspace{1pt}\)通り
(2) \(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{n(n-1)}{2}\hspace{1pt}\)通り
(3) \(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{n}{6}(n+1 )(n+2)\hspace{1pt}\)通り
【(1)の解答】
問題 :『\(1\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)までの番号が振られた玉が入った袋がある。この袋から玉を\({\hspace{1pt}1\hspace{1pt}}\)つ取り出して、数字を確認して元に戻すという操作を\({\hspace{1pt}3\hspace{1pt}}\)回繰り返す。出た数字を順に\({\hspace{1pt}A\hspace{1pt},\hspace{1pt}B\hspace{1pt},\hspace{1pt}C\hspace{1pt}}\)とするとき、\({ A < B < C \hspace{2pt}}\)となる場合の数を求めよ』
\({\hspace{1pt}1\hspace{1pt}}\)から\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)までの数字から異なる\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)つの数字を選び、選んだ\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)つの数字を\({\hspace{2pt} A < B < C \hspace{2pt}}\)という大小関係になるように割り当てると考えます。
つまり、\({ A < B < C \hspace{2pt}}\)となる場合の数は、\(n\hspace{1pt}\)個の数字から異なる\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)つの数字を選ぶ場合の数と一致するので
$${{}_n C_3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}}$$
となります。
【(2)の解答】
問題 :『\(1\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)までの番号が振られた玉が入った袋がある。この袋から玉を\({\hspace{1pt}1\hspace{1pt}}\)つ取り出して、数字を確認して元に戻すという操作を\({\hspace{1pt}3\hspace{1pt}}\)回繰り返す。出た数字を順に\({\hspace{1pt}A\hspace{1pt},\hspace{1pt}B\hspace{1pt},\hspace{1pt}C\hspace{1pt}}\)とするとき、\({ A = B < C \hspace{2pt}}\)となる場合の数を求めよ』
\({\hspace{1pt}1\hspace{1pt}}\)から\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)までの数字から異なる\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの数字を選び、選んだ\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの数字を\({\hspace{2pt} B < C \hspace{2pt}}\)という大小関係になるように割り当てると考えます。
(このとき、\(A\hspace{1pt}\)の値は\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)の値によって\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)通りに定められます。)
つまり、\({ A = B < C \hspace{2pt}}\)となる場合の数は、\(n\hspace{1pt}\)個の数字から異なる\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの数字を選ぶ場合の数と一致するので
$${{}_n C_2 = \frac{n(n-1)}{2}}$$
となります。
【(3)の解答】
問題 :『\(1\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)までの番号が振られた玉が入った袋がある。この袋から玉を\({\hspace{1pt}1\hspace{1pt}}\)つ取り出して、数字を確認して元に戻すという操作を\({\hspace{1pt}3\hspace{1pt}}\)回繰り返す。出た数字を順に\({\hspace{1pt}A\hspace{1pt},\hspace{1pt}B\hspace{1pt},\hspace{1pt}C\hspace{1pt}}\)とするとき、\({ A \leqq B \leqq C \hspace{2pt}}\)となる場合の数を求めよ』
\({ A \leqq B \leqq C \hspace{2pt}}\)となる事象は
・[1]\({\hspace{3pt} A < B < C \hspace{2pt}}\)
・[2]\({\hspace{3pt} A = B < C \hspace{2pt}}\)
・[3]\({\hspace{3pt} A < B = C \hspace{2pt}}\)
・[4]\({\hspace{3pt} A = B = C \hspace{2pt}}\)
の\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)つの事象の和事象となります。
[1]の場合の数は、問題(1)より\(\displaystyle\hspace{2pt} \frac{n(n-1)(n-2)}{6}\hspace{2pt}\)通りとなります。
また、[2]と[3]の場合の数は問題(2)より、それぞれ\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{n(n-1)}{2}\hspace{2pt}\)通りとなります。
[4]の場合の数は、\(n\hspace{1pt}\)通りあります。
[1]～[4]の事象は同時には起こらないため、求める場合の数は
となります。
【入試本番に向けたアドバイス】
問題(1)と(2)は、一見複雑な条件設定に見えますが\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)つの異なる数字の組み合わせを求めればよいことに気が付けば簡単に解くことができます。
ヒントにあるように『\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)から\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)までの番号が振られた玉』の場合など、一旦簡単な具体例を考えて解いてみると解法に気づきやすくなります。
問題(3)は『\({ A \leqq B \leqq C \hspace{2pt}}\)となる場合の数』を求める問題ですが、求める事象が\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)つの事象の和事象になっていることに気づけるかがポイントになります。
場合の数の入試問題は、求める事象が複数の事象の和事象になっているパターンが頻出です。
解答に行き詰ったときは、『複数の事象の和事象に分解できないか』を考えるクセをつけましょう。
【関連するページ】
・組み合わせの公式