◆第問目！
\(\hspace{1pt}x + y + z = 8\hspace{1pt}\)を満たす整数の組\(\hspace{1pt}(x,y,z)\hspace{1pt}\)の数は、重複を許して取る組み合わせの考え方から導くことができます。
\(8\hspace{1pt}\)個の『\(\hspace{1pt} \bigcirc\hspace{1pt}\)』と\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の仕切り『|』を並べ、仕切りの左側から\(\hspace{1pt}x,y,z\hspace{1pt}\)とすることで整数の組の数を求められます。
例えば、\(x=4\hspace{1pt}\)、\(y=2\hspace{1pt}\)、\(z = 2\hspace{1pt}\)となるときは $${ \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc | \bigcirc \bigcirc | \bigcirc \bigcirc}$$ と記号を並べたときに対応すると考えます。
上記のような順列の数は『同じものを含む順列の公式』から計算できます。
異なる\({\hspace{1pt}n\hspace{2pt}}\)個のものから\({\hspace{1pt}p\hspace{2pt}}\)個の同じもの、別の種類の\({\hspace{1pt}q\hspace{2pt}}\)個の同じもの、別の種類の\({\hspace{1pt}r\hspace{2pt}}\)個の同じもの\({\hspace{1pt}\cdots\hspace{2pt}}\)を取り出して並べる並べ方の総数は以下の式で計算されます。
$$ \displaystyle{\frac{n\hspace{1pt}!}{p\hspace{1pt}!\hspace{1pt}q\hspace{1pt}!\hspace{1pt}r\hspace{1pt}!\cdots}}$$ ただし、\({\hspace{1pt}p+q+r+\cdots = n\hspace{1pt}}\)
\(\hspace{1pt}x \geqq 1 , y \geqq 1 , z \geqq 1\hspace{1pt}\)の条件から、問題(1)における『〇』を\(\hspace{1pt}x,y,z\hspace{1pt}\)に\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個ずつ先に割り振ると考えます。
【答え】
(1) \(\hspace{1pt}45\hspace{1pt}\)通り
(2) \(\hspace{1pt}21\hspace{1pt}\)通り
【(1)の解答】
問題 :『\(x + y + z = 8 , x \geqq 0 , y \geqq 0 , z \geqq 0\) を満たす整数の組\(\hspace{1pt}(x,y,z)\hspace{1pt}\)の数を求めよ』
\(\hspace{1pt}x + y + z = 8\hspace{1pt}\)を満たす整数の組\(\hspace{1pt}(x,y,z)\hspace{1pt}\)の数は、重複を許して取る組み合わせの考え方から導くことができます。
\(8\hspace{1pt}\)個の『\(\hspace{1pt} \bigcirc\hspace{1pt}\)』と\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の仕切り『|』を並べ、仕切りの左側から\(\hspace{1pt}x,y,z\hspace{1pt}\)とすることで整数の組の数を求められます。
\(8\hspace{1pt}\)個の『\(\hspace{1pt} \bigcirc\hspace{1pt}\)』と\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の仕切り『|』を並べる順列の数は、同じものを含む順列の公式から $${\frac{10!}{ 8! 2!} = 45}$$
したがって 求める整数の組の数は\(\hspace{1pt}45\hspace{1pt}\)通りとなります。
【(2)の解答】
問題 :『\(x + y + z = 8 , x \geqq 1 , y \geqq 1 , z \geqq 1\) を満たす整数の組\(\hspace{1pt}(x,y,z)\hspace{1pt}\)の数を求めよ』
\(\hspace{1pt}x \geqq 1 , y \geqq 1 , z \geqq 1\hspace{1pt}\)の条件から、問題(1)における『〇』を\(\hspace{1pt}x,y,z\hspace{1pt}\)に\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個ずつ先に割り振ると考えます。
よって、\(5\hspace{1pt}\)個の『\(\hspace{1pt} \bigcirc\hspace{1pt}\)』と\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の仕切り『|』を並べ、仕切りの左側から\(\hspace{1pt}x,y,z\hspace{1pt}\)とすることで求める整数の組の数を求められます。
\(5\hspace{1pt}\)個の『\(\hspace{1pt} \bigcirc\hspace{1pt}\)』と\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の仕切り『|』を並べる順列の数は、同じものを含む順列の公式から $${\frac{7!}{ 5! 2!} = 21}$$
したがって 求める整数の組の数は\(\hspace{1pt}21\hspace{1pt}\)通りとなります。
【関連するページ】
・重複組み合わせ