りんごを分配する問題

りんごを分配する\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人を\(\hspace{1pt}A,B,C\hspace{1pt}\)と名前を付けて考えます。

まず、少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個はりんごを受け取るとするという条件から、先に\(\hspace{1pt}A,B,C\hspace{1pt}\)に\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個ずつりんごを分配するとします。

残りのりんご\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)個の分配方法は、\(6\hspace{1pt}\)個の『\(\hspace{1pt} \bigcirc\hspace{1pt}\)』と\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の仕切り『|』を並べ、仕切りの左側から\(\hspace{1pt}A,B,C\hspace{1pt}\)と割り振ると考えます。

例えば、\(A\hspace{1pt}\)に\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個、\(B\hspace{1pt}\)に\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個、\(C\hspace{1pt}\)に\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個りんごを分配するときは $${ \bigcirc \bigcirc \bigcirc | \bigcirc \bigcirc | \bigcirc}$$ と記号を並べたときに対応すると考えます。

上記のような順列の数は『同じものを含む順列の公式』から計算できます。

異なる\({\hspace{1pt}n\hspace{2pt}}\)個のものから\({\hspace{1pt}p\hspace{2pt}}\)個の同じもの、別の種類の\({\hspace{1pt}q\hspace{2pt}}\)個の同じもの、別の種類の\({\hspace{1pt}r\hspace{2pt}}\)個の同じもの\({\hspace{1pt}\cdots\hspace{2pt}}\)を取り出して並べる並べ方の総数は以下の式で計算されます。

$$ \displaystyle{\frac{n\hspace{1pt}!}{p\hspace{1pt}!\hspace{1pt}q\hspace{1pt}!\hspace{1pt}r\hspace{1pt}!\cdots}}$$ ただし、\({\hspace{1pt}p+q+r+\cdots = n\hspace{1pt}}\)