組み分けの問題

【答え】
(1) $\hspace{1pt}27720\hspace{1pt}$通り
(2) $\hspace{1pt}34650\hspace{1pt}$通り
(3) $\hspace{1pt}5775\hspace{1pt}$通り
(4) $\hspace{1pt}9240\hspace{1pt}$通り
　

【(1)の解答】
　問題 :『$\hspace{1pt}12\hspace{1pt}$人を$\hspace{1pt}5\hspace{1pt}$人、$4\hspace{1pt}$人、$3\hspace{1pt}$人に分ける方法の総数を求めよ』

問題(1)は 組が$\hspace{1pt}5\hspace{1pt}$人、$4\hspace{1pt}$人、$3\hspace{1pt}$人と分けられる人数によって区別できます。

まず、$12\hspace{1pt}$人から$\hspace{1pt}5\hspace{1pt}$人を選ぶ方法は$\hspace{1pt} {}_{12} C_5\hspace{1pt}$通りあります。
そのおのおのに対して$\hspace{1pt}7\hspace{1pt}$人から$\hspace{1pt}4\hspace{1pt}$人を選ぶ方法は$\hspace{1pt} {}_7 C_4\hspace{1pt}$通りあります。

残りの$\hspace{1pt}3\hspace{1pt}$人を選ぶ選び方は$\hspace{1pt}{}_3 C_3 \hspace{1pt}$となります。

すなわち $$\begin{aligned} & {}_{12} C_5 \times {}_7 C_4 \times {}_3 C_3 \\[0.7em] & = \frac{{}_{12} P_5}{5!} \times \frac{{}_7 P_4}{4!} \times 1\\[0.7em] & = 792 \times 35\\[0.7em] & = 27720 \\[0.7em] \end{aligned}$$ となります。

したがって、$12\hspace{1pt}$人を$\hspace{1pt}5\hspace{1pt}$人、$4\hspace{1pt}$人、$3\hspace{1pt}$人に分ける方法は$\hspace{1pt}27720\hspace{1pt}$通りとなります。
　

【(2)の解答】
　問題 :『$\hspace{1pt}12\hspace{1pt}$人を$\hspace{1pt}4\hspace{1pt}$人ずつ$\hspace{1pt}A,B,C\hspace{1pt}$のグループに分ける方法の総数を求めよ』

問題(2)は、$\hspace{1pt}A,B,C\hspace{1pt}$とグループの名前が付けられているため、分けられる組を区別できます。

まず、$12\hspace{1pt}$人から$\hspace{1pt}4\hspace{1pt}$人を選ぶ方法は$\hspace{1pt} {}_{12} C_4\hspace{1pt}$通りあります。
そのおのおのに対して$\hspace{1pt}8\hspace{1pt}$人から$\hspace{1pt}4\hspace{1pt}$人を選ぶ方法は$\hspace{1pt} {}_8 C_4\hspace{1pt}$通りあります。

残りの$\hspace{1pt}4\hspace{1pt}$人を選ぶ選び方は$\hspace{1pt}{}_4 C_4 \hspace{1pt}$となります。

すなわち $$\begin{aligned} & {}_{12} C_4 \times {}_8 C_4 \times {}_4 C_4 \\[0.7em] & = \frac{{}_{12} P_4}{4!} \times \frac{{}_8 P_4}{4!} \times 1\\[0.7em] & = 495 \times 70\\[0.7em] & = 34650 \\[0.7em] \end{aligned}$$ となります。

したがって、$12\hspace{1pt}$人を$\hspace{1pt}4\hspace{1pt}$人ずつ$\hspace{1pt}A,B,C\hspace{1pt}$のグループに分ける方法は$\hspace{1pt}34650 \hspace{1pt}$通りとなります。
　

【(3)の解答】
　問題 :『$\hspace{1pt}12\hspace{1pt}$人を$\hspace{1pt}4\hspace{1pt}$人ずつ$\hspace{1pt}3\hspace{1pt}$グループに分ける方法の総数を求めよ』

問題(3)は、分けられる組を区別することができません。

問題(2)とは、分けられる組が区別できるかどうかだけが違うため、問題(2)の結果を利用します。

問題(2)の$\hspace{1pt}3\hspace{1pt}$つの組が区別できる場合は、区別できない場合と比較して、$A,B,C\hspace{1pt}$の順列の数$\hspace{1pt}\color{red}{3!}\hspace{1pt}$の分だけ多く総数を求めていることになります。

すなわち、問題(2)で求めた総数を$\hspace{1pt}\color{red}{3!}\hspace{1pt}$で割ることで、区別できない場合の総数を求めることができます。

よって $$\begin{aligned} & ({}_{12} C_4 \times {}_8 C_4 \times {}_4 C_4) \div \color{red}{3!} \\[0.7em] & =\left( \frac{{}_{12} P_4}{4!} \times \frac{{}_8 P_4}{4!} \times 1\right) \div \color{red}{3!}\\[0.7em] & = 495 \times 70 \div 6\\[0.7em] & = 5775 \\[0.7em] \end{aligned}$$ となります。

したがって、$12\hspace{1pt}$人を$\hspace{1pt}4\hspace{1pt}$人ずつ$\hspace{1pt}3\hspace{1pt}$グループに分ける方法は$\hspace{1pt}5775 \hspace{1pt}$通りとなります。
　

【(4)の解答】
　問題 :『$\hspace{1pt}12\hspace{1pt}$人を$\hspace{1pt}6\hspace{1pt}$人、$3\hspace{1pt}$人、$3\hspace{1pt}$人に分ける方法の総数を求めよ』

問題(4)では、$3\hspace{1pt}$人に分ける$\hspace{1pt}2\hspace{1pt}$つの組を区別することができません。

そこで、まず先に全ての組が区別できるとして組み合わせの総数を求め、後から$\hspace{1pt}2\hspace{1pt}$つの組の順列の数$\hspace{1pt} \color{red}{2!}\hspace{1pt}$で割ることで、求めたい分け方の総数を求めます。

$\hspace{1pt}12\hspace{1pt}$人から$\hspace{1pt}6\hspace{1pt}$人を選ぶ方法は$\hspace{1pt}{}_{12} C_6\hspace{1pt}$通りあります。
そのおのおのに対して$\hspace{1pt}6\hspace{1pt}$人から$\hspace{1pt}3\hspace{1pt}$人を選ぶ方法は$\hspace{1pt} {}_6 C_3\hspace{1pt}$通りあります。

残りの$\hspace{1pt}3\hspace{1pt}$人を選ぶ選び方は$\hspace{1pt}{}_3 C_3 \hspace{1pt}$となります。

最後に、$2\hspace{1pt}$つの$\hspace{1pt}3\hspace{1pt}$人のグループが区別できないことから、$\color{red}{2!}\hspace{1pt}$で割ります。

すなわち $$\begin{aligned} & ({}_{12} C_6 \times {}_6 C_3 \times {}_3 C_3) \div \color{red}{2!} \\[0.7em] & =\left( \frac{{}_{12} P_6}{6!} \times \frac{{}_6 P_3}{3!} \times 1\right) \div \color{red}{2!}\\[0.7em] & = 924 \times 20 \div 2\\[0.7em] & = 9240\\[0.7em] \end{aligned}$$ となります。

したがって、$\hspace{1pt}12\hspace{1pt}$人を$\hspace{1pt}6\hspace{1pt}$人、$3\hspace{1pt}$人、$3\hspace{1pt}$人に分ける方法は$\hspace{1pt}9240 \hspace{1pt}$通りとなります。
　

【関連するページ】
・組み合わせの公式