◆第問目！
異なる\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)個の中から重複を許して\(\hspace{1pt}r\hspace{1pt}\)個を選び並べる順列の総数は $${n^r}$$ により求められます
【答え】
\(\hspace{1pt}340\hspace{1pt}\)通り
【解答】
問題 :『\(a,b,c,d\hspace{2pt}\)の\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個の文字から重複を許して選び並べるとき、\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)文字以上\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)文字以下の単語は何通りできるか求めよ』
\(a,b,c,d\hspace{2pt}\)の\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個の文字から重複を許して並べる数は重複順列の公式から計算することができます。
重複順列の公式から
\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)文字の単語は\(\hspace{2pt}4^1 = 4\hspace{1pt}\)通り
\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)文字の単語は\(\hspace{2pt}4^2 = 16\hspace{1pt}\)通り
\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)文字の単語は\(\hspace{2pt}4^3 = 64\hspace{1pt}\)通り
\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)文字の単語は\(\hspace{2pt}4^4 = 256\hspace{1pt}\)通り
と計算できます。
したがって、\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)文字以上\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)文字以下の単語の数は $$\begin{aligned} & 4^1 + 4^2 + 4^3 + 4^4 \\[0.5em] & = 4 + 16 + 64 + 256 \\[0.5em] & = 340\\[0.5em] \end{aligned}$$ となります。
以上から、\(a,b,c,d\hspace{2pt}\)の\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個の文字から重複を許して選び並べるとき、\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)文字以上\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)文字以下の単語は、\(340\hspace{1pt}\)通りとなります。
【関連するページ】
・重複順列