◆第問目！
\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)種類の果物から重複を許して\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)個を取る組み合わせを考えるときは、\(6\hspace{1pt}\)個の『\(\hspace{1pt} \bigcirc\hspace{1pt}\)』と\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の仕切り『|』を並べ、仕切りの左側からイチゴ、りんご、みかんと割り振ると考えます。
例えば、イチゴを\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個、りんごを\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個、みかんを\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)個取る場合は $${ \bigcirc \bigcirc \bigcirc | \bigcirc \bigcirc | \bigcirc}$$ と記号を並べたときに対応すると考えます。
上記のような順列の数は『同じものを含む順列の公式』から計算できます。
異なる\({\hspace{1pt}n\hspace{2pt}}\)個のものから\({\hspace{1pt}p\hspace{2pt}}\)個の同じもの、別の種類の\({\hspace{1pt}q\hspace{2pt}}\)個の同じもの、別の種類の\({\hspace{1pt}r\hspace{2pt}}\)個の同じもの\({\hspace{1pt}\cdots\hspace{2pt}}\)を取り出して並べる並べ方の総数は以下の式で計算されます。
$$ \displaystyle{\frac{n\hspace{1pt}!}{p\hspace{1pt}!\hspace{1pt}q\hspace{1pt}!\hspace{1pt}r\hspace{1pt}!\cdots}}$$ ただし、\({\hspace{1pt}p+q+r+\cdots = n\hspace{1pt}}\)
【答え】
\(\hspace{1pt}28\hspace{1pt}\)通り
【解答】
問題 :『イチゴ、りんご、みかんの\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)種類の果物から重複を許して\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)個を取る組み合わせは何通りか求めよ』
\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)種類の果物から重複を許して\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)個を取る組み合わせを考えるときは、\(6\hspace{1pt}\)個の『\(\hspace{1pt} \bigcirc\hspace{1pt}\)』と\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の仕切り『|』を並べ、仕切りの左側からイチゴ、りんご、みかんと割り振ると考えます。
\(6\hspace{1pt}\)個の『\(\hspace{1pt} \bigcirc\hspace{1pt}\)』と\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の仕切り『|』を並べる順列の数は、同じものを含む順列の公式から $${\frac{8!}{ 6! 2!} = 28}$$
したがって 求める組み合わせの数は\(\hspace{1pt}28\hspace{1pt}\)個となります。
【関連するページ】
・重複組み合わせ