◆第問目！
異なる\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)個の中から\(\hspace{1pt}r\hspace{1pt}\)個を選ぶときの総数は『組み合わせの公式』から
により求められます
正七角形の\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)つの頂点を結んでできる三角形の数は、『\(\hspace{1pt}7\hspace{1pt}\)個の頂点から\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の頂点を選ぶ組み合わせの数』から求めることができます。
正七角形の\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)つの頂点を結んでできる四角形の数は、『\(\hspace{1pt}7\hspace{1pt}\)個の頂点から\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個の頂点を選ぶ組み合わせの数』から求めることができます。
対角線の本数を求める場合、問題(1)(2)と同様に『\(\hspace{1pt}7\hspace{1pt}\)個の頂点から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の頂点を選ぶ組み合わせ』を計算に利用しますが、そのまま解答すると不正解となります。
組み合わせの総数を求める問題では、常に例外は存在しないかを考えて計算しましょう。
【答え】
(1) \(\hspace{1pt}35\hspace{1pt}\)個
(2) \(\hspace{1pt}35\hspace{1pt}\)個
(3) \(\hspace{1pt}14\hspace{1pt}\)本
【(1)の解答】
問題 :『正七角形の\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)つの頂点を結んで作られる三角形の数を求めよ』
問題(1)は、正七角形の\(\hspace{1pt}7\hspace{1pt}\)個の頂点から\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)個の頂点を選んだ組み合わせの数と考えることができます。
すなわち $$ \begin{aligned} {}_7 C_3 & = \frac{{}_7 P_3}{3!}\\[0.7em] & =\frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1}\\[0.7em] & = 35\\[0.7em] \end{aligned} $$ となります。
したがって、正七角形の\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)つの頂点を結んで作られる三角形の数は\(\hspace{1pt}35\hspace{1pt}\)個となります。
【(2)の解答】
問題 :『正七角形の\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)つの頂点を結んで作られる四角形の数を求めよ』
問題(2)は、正七角形の\(\hspace{1pt}7\hspace{1pt}\)個の頂点から\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)個の頂点を選んだ組み合わせの数と考えることができます。
すなわち $$ \begin{aligned} {}_7 C_4 & = \frac{{}_7 P_4}{4!}\\[0.7em] & =\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\\[0.7em] & = 35\\[0.7em] \end{aligned} $$ となります。
したがって、正七角形の\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)つの頂点を結んで作られる四角形の数は\(\hspace{1pt}35\hspace{1pt}\)個となります。
【(3)の解答】
問題 :『正七角形の対角線の数を求めよ』
まず、正七角形の\(\hspace{1pt}7\hspace{1pt}\)個の頂点から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の頂点を選んだ線分の数を求めます。
すなわち $$ \begin{aligned} {}_7 C_2 & = \frac{{}_7 P_2}{2!}\\[0.7em] & =\frac{7 \cdot 6 }{ 2 \cdot 1}\\[0.7em] & = 21\\[0.7em] \end{aligned} $$ となります。
ここで、\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個の頂点を選んだ線分のうち、正七角形の辺は対角線ではないため、上記の線分の数から辺の数を引きます。
すなわち $$ 21 - 7 = 14 $$ となります。
したがって、正七角形の対角線の数は\(\hspace{1pt}14\hspace{1pt}\)本となります。
【関連するページ】
・組み合わせの公式