正七角形の頂点を結んでできる三角形・四角形・対角線の数

【答え】
(1) $\hspace{1pt}35\hspace{1pt}$個
(2) $\hspace{1pt}35\hspace{1pt}$個
(3) $\hspace{1pt}14\hspace{1pt}$本
　

【(1)の解答】
　問題 :『正七角形の$\hspace{1pt}3\hspace{1pt}$つの頂点を結んで作られる三角形の数を求めよ』

問題(1)は、正七角形の$\hspace{1pt}7\hspace{1pt}$個の頂点から$\hspace{1pt}3\hspace{1pt}$個の頂点を選んだ組み合わせの数と考えることができます。

すなわち $$\begin{aligned} {}_7 C_3 & = \frac{{}_7 P_3}{3!}\\[0.7em] & =\frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1}\\[0.7em] & = 35\\[0.7em] \end{aligned}$$ となります。

したがって、正七角形の$\hspace{1pt}3\hspace{1pt}$つの頂点を結んで作られる三角形の数は$\hspace{1pt}35\hspace{1pt}$個となります。
　

【(2)の解答】
　問題 :『正七角形の$\hspace{1pt}4\hspace{1pt}$つの頂点を結んで作られる四角形の数を求めよ』

問題(2)は、正七角形の$\hspace{1pt}7\hspace{1pt}$個の頂点から$\hspace{1pt}4\hspace{1pt}$個の頂点を選んだ組み合わせの数と考えることができます。

すなわち $$\begin{aligned} {}_7 C_4 & = \frac{{}_7 P_4}{4!}\\[0.7em] & =\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\\[0.7em] & = 35\\[0.7em] \end{aligned}$$ となります。

したがって、正七角形の$\hspace{1pt}4\hspace{1pt}$つの頂点を結んで作られる四角形の数は$\hspace{1pt}35\hspace{1pt}$個となります。
　

【(3)の解答】
　問題 :『正七角形の対角線の数を求めよ』

まず、正七角形の$\hspace{1pt}7\hspace{1pt}$個の頂点から$\hspace{1pt}2\hspace{1pt}$個の頂点を選んだ線分の数を求めます。

すなわち $$\begin{aligned} {}_7 C_2 & = \frac{{}_7 P_2}{2!}\\[0.7em] & =\frac{7 \cdot 6 }{ 2 \cdot 1}\\[0.7em] & = 21\\[0.7em] \end{aligned}$$ となります。

ここで、$\hspace{1pt}2\hspace{1pt}$個の頂点を選んだ線分のうち、正七角形の辺は対角線ではないため、上記の線分の数から辺の数を引きます。

すなわち $$21 - 7 = 14$$ となります。

したがって、正七角形の対角線の数は$\hspace{1pt}14\hspace{1pt}$本となります。
　

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