選び方の総数を求める問題

【答え】
(1) \(\hspace{1pt}840\hspace{1pt}\)通り
(2) \(\hspace{1pt}35\hspace{1pt}\)通り
(3) \(\hspace{1pt}18\hspace{1pt}\)通り
(4) \(\hspace{1pt}34\hspace{1pt}\)通り
　

【(1)の解答】
　問題 :『\(\hspace{1pt}7\hspace{1pt}\)人から\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人を選び並べる方法の総数を求めよ』

問題(1)は、並び方の総数を求める問題であるため、順列の公式から計算できます。

\(\hspace{1pt}7\hspace{1pt}\)人から\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人を選び並べる方法は $$ \begin{aligned} {}_7 P_4 & = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4\\[0.7em] & = 840\\[0.7em] \end{aligned} $$ となります。

したがって、\(\hspace{1pt}7\hspace{1pt}\)人から\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人を選び並べる方法は\(\hspace{1pt}840\hspace{1pt}\)通りとなります。
　

【(2)の解答】
　問題 :『\(\hspace{1pt}7\hspace{1pt}\)人から\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人を選ぶ方法の総数を求めよ』

問題(2)は、選ぶ方法の総数を求める問題であるため、組み合わせの公式から計算できます。

\(\hspace{1pt}7\hspace{1pt}\)人から\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人を選ぶ方法は $$ \begin{aligned} {}_7 C_4 & = \frac{{}_7 P_4}{ 4!}\\[0.7em] & = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\\[0.7em] & = 35\\[0.7em] \end{aligned} $$ となります。

したがって、\(\hspace{1pt}7\hspace{1pt}\)人から\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人を選ぶ方法は\(\hspace{1pt}35\hspace{1pt}\)通りとなります。
　

【(3)の解答】
　問題 :『男子\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人,女子\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人から、男子\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人と女子\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人を選ぶ方法の総数を求めよ』

男子\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人を選ぶ方法は\(\hspace{1pt} {}_4 C_2\hspace{1pt}\)通りとなります。

また、そのおのおのに対して女子\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人から\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人を選ぶ方法が\(\hspace{1pt} {}_3 C_2\hspace{1pt}\)通りあります。

したがって $$ \begin{aligned} {}_4 C_2 \times {}_3 C_2 & = \frac{{}_4 P_2}{ 2!} \times \frac{{}_3 P_2}{ 2!}\\[0.7em] & = \frac{4 \cdot 3 }{ 2 \cdot 1} \times \frac{3 \cdot 2 }{ 2 \cdot 1}\\[0.7em] & = 6 \times 3\\[0.7em] & = 18\\[0.7em] \end{aligned} $$ となることから、男子\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人,女子\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人から、男子\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人と女子\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)人を選ぶ方法の総数は\(\hspace{1pt}18\hspace{1pt}\)通りとなります。
　

【(4)の解答】
　問題 :『男子\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人,女子\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人から\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人を選ぶとき、少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人女子を選ぶ方法の総数を求めよ』

少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人女子を選ぶと条件が指定された組み合わせの数を求める場合は、余事象を考えると計算しやすくなります。

『少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人女子を選ぶ』ことの余事象は『\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人とも男子を選ぶ』ことになります。

問題(2)から、\(\hspace{1pt}7\hspace{1pt}\)人から\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人を選ぶ方法は\(\hspace{1pt}35\hspace{1pt}\)通りとなります。

また、男子\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人から\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人を選ぶ方法は $${ {}_4 C_4 = 1}$$ から\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)通りとなります。

したがって $${35 - 1 = 34}$$ となることから、男子\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人,女子\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)人から\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)人を選ぶとき、少なくとも\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)人女子を選ぶ方法の総数は\(\hspace{1pt}34\hspace{1pt}\)通りとなります。
　

【関連するページ】
・組み合わせの公式