◆第問目！
異なる\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)個の中から重複を許して\(\hspace{1pt}r\hspace{1pt}\)個を選び並べる順列の総数は $${n^r}$$ により求められます
本問のように\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)を含む数字を並べる問題は、最上位の位が\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)とならない点に注意が必要です。
数字を並べて作られた数が偶数であるためには、一の位の数が偶数である必要があります。
奇数の総数は『作られる整数の総数』から『作られる偶数の数』を引くことで求められます。
【答え】
(1) \(\hspace{1pt}1080\hspace{1pt}\)通り
(2) \(\hspace{1pt}540\hspace{1pt}\)通り
(3) \(\hspace{1pt}540\hspace{1pt}\)通り
【(1)の解答】
問題 :『\(0,1,2,3,4,5\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)個の数字から重複を許して選び並べるとき、\(4\hspace{1pt}\)桁の整数は何通りできるか求めよ』
千の位の数字は\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)以外の\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)個の数字から選ぶため、\(5\hspace{1pt}\)通りとなります。
また、残りの\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)桁は\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)個の数字から重複を許して選ぶため、\(\hspace{1pt} 6^3\hspace{1pt}\)通りとなります。
したがって
$${ 5 \times 6^3 = 1080}$$
であることから、\(0,1,2,3,4,5\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)個の数字から重複を許して選び並べるとき、\(4\hspace{1pt}\)桁の整数は\(\hspace{1pt}1080\hspace{1pt}\)通りとなります。
【(2)の解答】
問題 :『\(0,1,2,3,4,5\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)個の数字から重複を許して選び並べるとき、\(4\hspace{1pt}\)桁の偶数は何通りできるか求めよ』
数字を並べた数が偶数であるためには、一の位の数が\(\hspace{1pt}0 , 2, 4\hspace{1pt}\)のどれかになります。
すなわち、一の位の数字は\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)通りとなります。
さらに、千の位の数が\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)以外の\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)個の数字から選ぶことから、千の位の数字は\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)通りとなります。
また、残りの\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)桁は\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)個の数字から重複を許して選ぶため、\(\hspace{1pt} 6^2\hspace{1pt}\)通りとなります。
したがって
$${ 3 \times 5 \times 6^2 = 540}$$
であることから、\(0,1,2,3,4,5\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)個の数字から重複を許して選び並べるとき、\(4\hspace{1pt}\)桁の偶数は\(\hspace{1pt}540\hspace{1pt}\)通りとなります。
【(3)の解答】
問題 :『\(0,1,2,3,4,5\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)個の数字から重複を許して選び並べるとき、\(4\hspace{1pt}\)桁の奇数は何通りできるか求めよ』
奇数の総数は『作られる整数の総数』から『作られる偶数の数』を引けばよいので問題(1),(2)から $${ 1080 - 540 = 540}$$ となります。
したがって、\(0,1,2,3,4,5\hspace{1pt}\)の\(\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\)個の数字から重複を許して選び並べるとき、\(4\hspace{1pt}\)桁の奇数は\(\hspace{1pt}540\hspace{1pt}\)通りとなります。
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・重複順列