AとBの二部屋に分ける問題

【答え】
(1) \(\hspace{1pt}256\hspace{1pt}\)通り
(2) \(\hspace{1pt}254\hspace{1pt}\)通り
(2) \(\hspace{1pt}127\hspace{1pt}\)通り
　

【(1)の解答】
　問題 :『\(8\hspace{1pt}\)人を\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)または\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)の部屋に分ける方法は何通りか求めよ。ただし、\(1\hspace{1pt}\)人も入らない部屋があってもよいとする』

\(\hspace{1pt}8\hspace{1pt}\)人それぞれに対して、\(A\hspace{1pt}\)または\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)の部屋に入るという\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)通りの方法があることから $${2^8 = 256}$$ したがって、\(8\hspace{1pt}\)人を\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)または\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)の部屋に分ける方法は\(\hspace{1pt}256\hspace{1pt}\)通りとなります。
　

【(2)の解答】
　問題 :『\(8\hspace{1pt}\)人をグループ\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)または\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)に分ける方法は何通りか求めよ。』

問題(1)では、\(1\hspace{1pt}\)人も入らない部屋があってもよいという条件から、\(8\hspace{1pt}\)人全員が同じグループの場合も数えていました。

一方、問題(2)ではグループ\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)または\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)に分けることから、全員が同じグループの場合を除く必要があります。

すなわち $$ \begin{aligned} 2^8 -2 & = 256-2\\[0.7em] & = 254 \\[0.7em] \end{aligned} $$

したがって、\(8\hspace{1pt}\)人をグループ\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)または\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)に分ける方法は\(\hspace{1pt}254\hspace{1pt}\)通りとなります。
　

【(3)の解答】
　問題 :『\(8\hspace{1pt}\)人を\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つのグループに分ける方法は何通りか求めよ。』

\(8\hspace{1pt}\)人を区別できない\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つのグループに分ける場合、問題(2)の計算方法では同じ分け方が\(\hspace{1pt}2!\hspace{1pt}\)通りずつ発生します。

すなわち $$ \begin{aligned} \frac{2^8 -2}{2!} & = \frac{254}{2}\\[0.7em] & = 127 \\[0.7em] \end{aligned} $$

したがって、\(8\hspace{1pt}\)人を\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つのグループに分ける方法は\(\hspace{1pt}127\hspace{1pt}\)通りとなります。
　

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