y=x周りの回転体の体積の問題と解き方

【問題(1)の答え】
　$\displaystyle \frac{\sqrt{2}\pi}{2} \left \{\frac{1}{3} + \frac{1}{2n+1} - \frac{2}{n+2} \right\} $

【問題(2)の答え】
　$\displaystyle \frac{\sqrt{2}\pi}{6} $
　

【解答のポイント】
　曲線$\hspace{2pt}y = x^n\hspace{2pt}$$(\hspace{2pt}n=2,3,4, \cdots \hspace{2pt})\hspace{2pt}$と直線$\hspace{2pt}y=x\hspace{2pt}$に囲まれる部分を図示すると、以下のようになります。 y=X周りの回転体の体積の問題

回転体の回転軸の方向を$\hspace{2pt}X\hspace{2pt}$軸、$\hspace{2pt}X\hspace{2pt}$軸に垂直な方向を$\hspace{2pt}Y\hspace{2pt}$軸とすると、体積$\hspace{1pt}V_n\hspace{1pt}$は $${V_n = \pi \int_0^{\sqrt{2}} Y^2 \hspace{1pt}dX}$$ と表すことができます。

この変数$\hspace{1pt}(X,Y)\hspace{1pt}$を元の変数$\hspace{2pt}(x,y)\hspace{2pt}$で表すことによって回転体の体積を求めます。

$\hspace{2pt}Y\hspace{1pt}$は点$\hspace{1pt}P\hspace{1pt}$と直線$\hspace{1pt}y=x\hspace{1pt}$の距離$\hspace{2pt}\overline{HP}\hspace{2pt}$から求められます。
点$\hspace{1pt}(x_0 , y_0)\hspace{2pt}$と直線$\hspace{2pt}ax+by+c=0\hspace{2pt}$における点と直線の距離の公式 $${\frac{|ax_0 + b y_0 +c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$$ を用いると求められます。

また、$\hspace{2pt}dX\hspace{1pt}$は$\hspace{2pt}X\hspace{1pt}$と$\hspace{2pt}x\hspace{2pt}$の関係を求めて微分をすることで求めます。

$\hspace{2pt}X\hspace{1pt}$は線分$\hspace{1pt}OH\hspace{1pt}$の長さから求められるので、直角三角形$\hspace{1pt}OPH\hspace{1pt}$に三平方の定理を用いて $${\overline{OH}^{\hspace{2pt}2} = \overline{OP}^{\hspace{2pt}2} -\overline{HP}^{\hspace{2pt}2}}$$ から求められます。
　

【解答】
　問題 :『$\hspace{1pt}0 \leqq x \leqq 1\hspace{2pt}$の範囲で曲線$\hspace{2pt}y = x^n\hspace{2pt}$$(\hspace{2pt}n=2,3,4, \cdots \hspace{2pt})\hspace{2pt}$と直線$\hspace{2pt}y=x\hspace{2pt}$に囲まれる部分を直線$\hspace{2pt}y=x\hspace{2pt}$の周りに回転させた回転体の体積を$\hspace{2pt}V_n\hspace{2pt}$とする. このとき, 次の問いに答えよ.
　(1) $\hspace{2pt}V_n\hspace{2pt}$を求めよ.
　(2) $\displaystyle\hspace{2pt}\lim_{n \rightarrow \infty}V_n\hspace{2pt}$を求めよ.』
　

曲線$\hspace{2pt}y = x^n\hspace{2pt}$$(\hspace{2pt}n=2,3,4, \cdots \hspace{2pt})\hspace{2pt}$と直線$\hspace{2pt}y=x\hspace{2pt}$に囲まれる部分を図示すると、以下のようになります。 y=X周りの回転体の体積の問題

上図において、$\hspace{2pt}y = x^n\hspace{2pt}$上に点$\hspace{1pt}P\hspace{2pt}$、点$\hspace{1pt}P\hspace{2pt}$から直線$\hspace{2pt}y=x\hspace{2pt}$に垂直に下した垂線の足を点$\hspace{1pt}H\hspace{2pt}$とします。

ここで、回転体の回転軸の方向を$\hspace{2pt}X\hspace{2pt}$軸、$\hspace{2pt}X\hspace{2pt}$軸に垂直な方向を$\hspace{2pt}Y\hspace{2pt}$軸とすると、体積$\hspace{1pt}V_n\hspace{1pt}$は $${V_n = \pi \int_0^{\sqrt{2}} Y^2 \hspace{1pt}dX}$$ と表すことができます。

ここで、曲線$\hspace{2pt}y = x^n\hspace{2pt}$上の点$\hspace{1pt}P(x,x^n)\hspace{1pt}$と直線$\hspace{1pt}-x+y=0\hspace{1pt}$の距離$\hspace{2pt}\overline{HP}\hspace{2pt}$は点と直線の距離の公式から $$ \begin{aligned} \hspace{10pt} \overline{HP} & = \frac{|x^n-x|}{\sqrt{2}} \\[1em] & =\frac{x-x^n}{\sqrt{2}} \\ \end{aligned} $$ と求められます。

よって、$0 \leqq x \leqq 1\hspace{2pt}$において $${Y = \frac{x-x^n}{\sqrt{2}}}$$ となります。

また、直角三角形$\hspace{1pt}OPH\hspace{1pt}$に三平方の定理を用いると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt} \overline{OH}^{\hspace{2pt}2} & = \overline{OP}^{\hspace{2pt}2} -\overline{HP}^{\hspace{2pt}2} \hspace{10pt} \\[0.7em] & = (\sqrt{x^2 + (x^n)^2})^2 - \left(\frac{x-x^n}{\sqrt{2}}\right)^2 \hspace{10pt}\\[0.7em] & = x^2 + x^{2n} - \frac{(x-x^n)^2}{2} \\[0.7em] & = \frac{(x+x^n)^2}{2} \\ \end{aligned} $$

よって、$0 \leqq x \leqq 1\hspace{2pt}$において $${X = \frac{x+x^n}{\sqrt{2}}}$$ となります。

となります。両辺を$\hspace{2pt}x\hspace{2pt}$で微分すると $${\frac{dX}{dx} = \frac{1 + nx^{n-1}}{\sqrt{2}}}$$ となることから、$\displaystyle dX = \frac{1 + nx^{n-1}}{\sqrt{2}} dx\hspace{2pt}$と表せます。

また、変数$\hspace{2pt}X\hspace{2pt}$に対応する変数$\hspace{2pt}x\hspace{2pt}$の値は以下のようになります。

${X}$	${0 \to \sqrt{2}}$
${x}$	$\displaystyle{0 \to 1}$

以上から

$$ \begin{aligned} \hspace{15pt} V_n & = \pi \int_0^{\sqrt{2}} Y^2 \hspace{1pt}dX \\[1em] & = \pi \int_0^{1} \left(\frac{x-x^n}{\sqrt{2}}\right)^2 \cdot \frac{1 + nx^{n-1}}{\sqrt{2}} dx \\[1em] & = \frac{\sqrt{2}\pi}{4} \int_0^{1} (x-x^n)^2 (1 + nx^{n-1}) dx \\[1em] & = \frac{\sqrt{2}\pi}{4} \int_0^{1} \left\{n x^{3n-1} - (2n-1)x^{2n} + (n-2)x^{n+1} + x^2 \right \} dx\hspace{15pt}\\[1em] & = \frac{\sqrt{2}\pi}{4} \left [\frac{1}{3} x^{3n} - \frac{2n-1}{2n+1}x^{2n+1} + \frac{n-2}{n+2}x^{n+2} + \frac{1}{3}x^3 \right]_0^{1}\hspace{10pt}\\[1em] & = \frac{\sqrt{2}\pi}{4} \left \{\frac{1}{3} - \frac{2n-1}{2n+1} + \frac{n-2}{n+2} + \frac{1}{3} \right\}\hspace{10pt}\\[1em] & = \frac{\sqrt{2}\pi}{4} \left \{\frac{2}{3} - \left( 1 - \frac{2}{2n+1}\right) + \left( 1 - \frac{4}{n+2}\right) \right\}\hspace{10pt}\\[1em] & = \frac{\sqrt{2}\pi}{2} \left \{\frac{1}{3} + \frac{1}{2n+1} - \frac{2}{n+2} \right\}\hspace{10pt}\\ \end{aligned} $$

と求められます。
　

問題(1)の結果から

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt} & \lim_{n \rightarrow \infty}V_n \hspace{10pt}\\[0.5em] & = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sqrt{2}\pi}{2} \left \{\frac{1}{3} + \frac{1}{2n+1} - \frac{2}{n+2} \right\} \hspace{10pt}\\[0.7em] & = \frac{\sqrt{2}\pi}{6} \\ \end{aligned} $$

と求められます。
　

\({X}\)	\({0 \to \sqrt{2}}\)
\({x}\)	\(\displaystyle{0 \to 1}\)