y=xの断面が正三角形となる体積を求める問題

【問題の答え】
　$\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{15} $
　

【解答のポイント】
本問は、直線$\hspace{2pt}y= x\hspace{2pt}$に垂直な平面で切った断面の正三角形の面積を求め、立体の体積$\hspace{1pt}V\hspace{1pt}$を求める問題です。

正三角形の面積$\hspace{1pt}S\hspace{1pt}$を積分して体積$\hspace{1pt}V\hspace{1pt}$を求めるとき $${V = \int_0^{2} S \hspace{1pt}dx}$$ と計算できない点に注意が必要です。

正三角形は直線$\hspace{2pt}y= x\hspace{2pt}$に垂直な平面で切った断面であるため、直線$\hspace{1pt}y=x\hspace{1pt}$と平行な方向に軸をとり積分する必要があります。

そこで、以下のように直線$\hspace{1pt}y=x\hspace{1pt}$と平行な方向に$\hspace{1pt}X\hspace{1pt}$軸を取ることで計算します。 y=x上にX軸を取って積分する説明の図

このとき、求める体積$\hspace{1pt}V\hspace{1pt}$は $${V = \int_0^{2\sqrt{2}} S \hspace{1pt}dX}$$ となります。

ここで、$dX\hspace{1pt}$は$\hspace{2pt}X\hspace{1pt}$と$\hspace{2pt}x\hspace{2pt}$の関係を求めて微分をすることで求めます。

$\hspace{2pt}X\hspace{1pt}$は線分$\hspace{1pt}OH\hspace{1pt}$の長さから求められるので、直角三角形$\hspace{1pt}OPH\hspace{1pt}$に三平方の定理を用いて $${\overline{OH}^{\hspace{2pt}2} = \overline{OP}^{\hspace{2pt}2} -\overline{HP}^{\hspace{2pt}2}}$$ から求めます。
　

【問題の解答】
　問題 :『曲線$\displaystyle\hspace{2pt}y = x^2-x\hspace{2pt}$と直線$\hspace{2pt}y= x\hspace{2pt}$に囲まれる部分を$\hspace{2pt}A\hspace{2pt}$とする. $A\hspace{1pt}$を底面とし, 直線$\hspace{2pt}y= x\hspace{2pt}$に垂直な平面で切った断面が常に正三角形となる立体を$\hspace{1pt}B\hspace{1pt}$とする. 立体$\hspace{1pt}B\hspace{1pt}$の体積$\hspace{2pt}V\hspace{2pt}$を求めよ.』
　

曲線$\displaystyle\hspace{2pt}y = x^2-x\hspace{2pt}$と直線$\hspace{2pt}y= x\hspace{2pt}$を図示すると以下のようになります。 y=xとy=x^2-xのグラフ_問題文

上図において、$\displaystyle y =x^2 -x\hspace{2pt}$上に点$\hspace{1pt}P$、点$\hspace{1pt}P\hspace{2pt}$から直線$\hspace{2pt}y=x\hspace{2pt}$に垂直に下した垂線の足を点$\hspace{1pt}H\hspace{2pt}$とします。

$\hspace{1pt}0 \leqq x \leqq 2\hspace{2pt}$における曲線$\hspace{2pt}y =x^2 -x\hspace{2pt}$上の点$\hspace{1pt}P(x,x^2 -x)\hspace{1pt}$と直線$\hspace{2pt}-x+y=0\hspace{1pt}$の距離$\hspace{2pt}\overline{HP}\hspace{2pt}$は点と直線の距離の公式から $$ \begin{aligned} \hspace{10pt} \overline{HP} & = \frac{|-x+(x^2 -x)|}{\sqrt{2}} \\[1em] & =\frac{|x^2-2x|}{\sqrt{2}} \\ & =\frac{-x^2+2x}{\sqrt{2}} \\ \end{aligned} $$ と求められます。

よって、直線$\hspace{2pt}y=x\hspace{2pt}$に垂直な平面に立体を切ったときの正三角形の面積$\hspace{2pt}S\hspace{2pt}$は $$ \begin{aligned} S & = \frac{\sqrt{3}}{4}(\overline{HP})^2\\[1em] & =\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\left(-x^2+2x \right)^2}{2} \\ & =\frac{\sqrt{3}}{8}\left(-x^2+2x \right)^2 \\ \end{aligned} $$ となります。

ここで、直線$\hspace{1pt}y=x\hspace{1pt}$と平行な方向に$\hspace{1pt}X\hspace{1pt}$軸を取ります。 y=x上にX軸を取って積分する説明の図

求める体積$\hspace{1pt}V\hspace{1pt}$は、断面積$\hspace{2pt}S\hspace{2pt}$を$\hspace{1pt}X\hspace{1pt}$軸方向に$\hspace{2pt}0 \leqq X \leqq 2\sqrt{2}\hspace{2pt}$の区間を積分することで求められるので $${V = \int_0^{2\sqrt{2}} S \hspace{1pt}dX}$$ となります。

ここで、変数$\hspace{2pt}x\hspace{2pt}$と$\hspace{1pt}X\hspace{1pt}$の関係式を求めます。

$\hspace{2pt}X\hspace{1pt}$は線分$\hspace{1pt}OH\hspace{1pt}$の長さから求められるので、直角三角形$\hspace{1pt}OPH\hspace{1pt}$に三平方の定理を用いると

$$ \begin{aligned} \hspace{15pt} \overline{OH}^{\hspace{2pt}2} & = \overline{OP}^{\hspace{2pt}2} -\overline{HP}^{\hspace{2pt}2} \hspace{10pt} \\[0.7em] & = \left(\sqrt{x^2 + \left(x^2-x\right)^2}\right)^2 - \left(\frac{-x^2+2x}{\sqrt{2}}\right)^2 \hspace{15pt}\\[0.7em] & =x^2 + \left(x^2-x\right)^2 - \frac{(-x^2+2x)^2}{2} \\[0.7em] & = \frac{x^4}{2} \\ \end{aligned} $$

よって、$0 \leqq x \leqq 2\hspace{2pt}$において $${X = \frac{x^2}{\sqrt{2}}}$$ となります。

両辺を$\hspace{2pt}x\hspace{2pt}$で微分すると $${\frac{dX}{dx} =\sqrt{2} x}$$ となることから、$\displaystyle dX = \sqrt{2} x dx\hspace{2pt}$と表せます。

また、変数$\hspace{2pt}X\hspace{2pt}$に対応する変数$\hspace{2pt}x\hspace{2pt}$の値は以下のようになります。

${X}$	${0 \to 2\sqrt{2}}$
${x}$	$\displaystyle{0 \to 2}$

以上から

$$ \begin{aligned} \hspace{15pt} V & = \int_0^{2\sqrt{2}} S \hspace{1pt}dX \\[1em] & =\int_0^{2}\frac{\sqrt{3}}{8}(-x^2+2x)^2 \cdot \sqrt{2} x dx \hspace{15pt} \\[1em] & = \frac{\sqrt{6}}{8} \int_0^{2} x(-x^2+2x )^2 dx \\[1em] & = \frac{\sqrt{6}}{8} \int_0^{2} (x^5 -4x^4 + 4x^3) dx \\[1em] & = \frac{\sqrt{6}}{8} \left [\frac{1}{6} x^{6} - \frac{4}{5}x^{5} + x^4 \right]_0^{2}\hspace{10pt}\\[1em] & = \frac{2\sqrt{6}}{15}\hspace{10pt}\\ \end{aligned} $$

と求められます。
　

\({X}\)	\({0 \to 2\sqrt{2}}\)
\({x}\)	\(\displaystyle{0 \to 2}\)