1/cos^3xの定積分の問題と解き方 | 積分ランダム問題集

【答え】
　$\displaystyle \frac{1}{2}\left \{\log \left(\sqrt{2}+1 \right) +\sqrt{2}\right \} $
　

【解答のポイント】
被積分関数を以下のように変形します。 $$ \begin{aligned} & \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^3 x}\hspace{1pt}dx\\[1em] &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x}{\cos^4 x}\hspace{1pt}dx\\[1em] &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x}{(1-\sin^2 x)^2}\hspace{1pt}dx\\[1em] \end{aligned} $$

ここで、置換積分法から$\hspace{2pt}t = \sin x\hspace{2pt}$とおくことで$\hspace{2pt}t\hspace{2pt}$の分数関数の積分に変換することができます。
　

変数を置き換えると、以下の定積分となります。 $${\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{(t-1)^2(t+1)^2}\hspace{1pt}dt}$$

被積分関数は『(分母の次数) > (分子の次数)』であり、かつ『分母が因数分解された式』となっています。

このような分数関数は、部分分数分解から次数の小さい分数関数の和に変換して積分します。

本問では、以下のように分解されるとして、定数${\hspace{1pt}A , B , C , D\hspace{2pt}}$を求めます。

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt} & \frac{1}{(t-1)^2(t+1)^2}\\[1em] &= \frac{A}{t-1}+\frac{B}{(t-1)^2}+\frac{C}{t+1}+\frac{D}{(t+1)^2}\hspace{10pt}\\[1em] \end{aligned} $$

【解答】
　問題 :『定積分$\displaystyle\hspace{2pt}\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^3 x}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$を求めよ』
　

まず、被積分関数を以下のように変形します。 $$ \begin{aligned} & \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^3 x}\hspace{1pt}dx\\[1em] &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x}{\cos^4 x}\hspace{1pt}dx\\[1em] &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x}{(1-\sin^2 x)^2}\hspace{1pt}dx\\[1em] \end{aligned} $$

ここで、置換積分法から$\hspace{2pt}t = \sin x\hspace{2pt}$とおきます。

変数$\hspace{2pt}x\hspace{2pt}$と$\hspace{2pt}t\hspace{2pt}$の積分区間は以下のように対応します。

${x}$	${\displaystyle 0 \to \frac{\pi}{4}}$
${t}$	$\displaystyle{ 0 \to \frac{1}{\sqrt{2}}}$

また、$\displaystyle{t = \sin x }$ の両辺を$\hspace{2pt}x\hspace{2pt}$で微分すると$\displaystyle\hspace{2pt}\frac{dt}{dx} = \cos x\hspace{2pt}$となります。すなわち、$dt = \cos x dx\hspace{2pt}$と表せます。

変数を置き換えると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x}{(1-\sin^2 x)^2}\hspace{1pt}dx \\[1.4em] \hspace{10pt}&= \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{(1-t^2 )^2}\hspace{1pt}dt\\[1.4em] \hspace{10pt}&= \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{(t^2-1 )^2}\hspace{1pt}dt\\[1.4em] \hspace{10pt}&= \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{(t-1)^2(t+1)^2}\hspace{1pt}dt\\[1.4em] \end{aligned} $$

となります。

ここで、$\displaystyle{\frac{1}{(t-1)^2(t+1)^2}\hspace{2pt}}$を部分分数分解します。

以下のように分解されるとして、定数${\hspace{1pt}A , B , C , D\hspace{2pt}}$を求めます。

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt} & \frac{1}{(t-1)^2(t+1)^2}\\[1em] &= \frac{A}{t-1}+\frac{B}{(t-1)^2}+\frac{C}{t+1}+\frac{D}{(t+1)^2}\hspace{10pt}\\[1em] \end{aligned} $$

両辺に${\hspace{1pt}(t-1)^2(t+1)^2\hspace{2pt}}$をかけると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt} 1 = & (t-1)(t+1)^2 A+ (t+1)^2 B \\[1em] &+ (t-1)^2(t+1) C + (t-1)^2 D \cdots(1)\hspace{10pt}\\[1em] \end{aligned} $$

(1)式において$\hspace{2pt}t=1\hspace{2pt}$とすると $${1 = 4 B}$$ すなわち $${B = \frac{1}{4}}$$ となります。

また、(1)式において$\hspace{2pt}t=-1\hspace{2pt}$とすると $${1 = 4 D}$$ すなわち $${D = \frac{1}{4}}$$ となります。

(1)式の三次の項を比較すると $${0 = A +C \cdots (2)}$$ (1)式の定数項を比較すると $$ \begin{aligned} \hspace{10pt} 1 &= -A +B +C + D\hspace{10pt} \\[1em] \frac{1}{2}&= -A+C \cdots (3)\\[1em] \end{aligned} $$ (2)、(3)式より $${A = -\frac{1}{4}\hspace{1pt},\hspace{1pt}C = \frac{1}{4}}$$ となります。

よって、部分分数分解すると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt} & \frac{1}{(t-1)^2(t+1)^2}\\[1em] &= \frac{1}{4} \left \{-\frac{1}{t-1}+\frac{1}{(t-1)^2}+\frac{1}{t+1}+\frac{1}{(t+1)^2}\right \}\hspace{10pt}\\[1em] \end{aligned} $$

となります。

したがって

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt} &\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{(t-1)^2(t+1)^2}\hspace{1pt}dt \hspace{10pt} \\[1.3em] & = \frac{1}{4}\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \left \{-\frac{1}{t-1}+\frac{1}{(t-1)^2}+\frac{1}{t+1}+\frac{1}{(t+1)^2}\right \}\hspace{1pt}dt\hspace{10pt} \\[1.3em] & = \frac{1}{4}\left [-\log |t-1 |-\frac{1}{t-1}+\log |t+1| -\frac{1}{t+1}\right ]_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\\[1.3em] & = \frac{1}{4}\left [\log \left| \frac{t+1}{t-1} \right| -\frac{2t}{t^2-1}\right ]_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\\[1.3em] & = \frac{1}{4}\left \{\log \left( \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \right) +2\sqrt{2}\right \}\\[1.3em] & = \frac{1}{4}\left \{\log \left( \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} \right) +2\sqrt{2}\right \}\\[1.3em] & = \frac{1}{4}\left \{\log (\sqrt{2}+1)^2 +2\sqrt{2}\right \}\\[1.3em] & = \frac{1}{2}\left \{\log \left(\sqrt{2}+1 \right) +\sqrt{2}\right \}\\[1em] \end{aligned} $$

と求められます。
　

【関連するページ】
・置換積分
　

\({x}\)	\({\displaystyle 0 \to \frac{\pi}{4}}\)
\({t}\)	\(\displaystyle{ 0 \to \frac{1}{\sqrt{2}}}\)