1/(e^x+e^(-x))^4の不定積分の問題と解き方

【答え】
　$\displaystyle \frac{1}{2} \left\{\frac{1}{3(e^{2x}+1)^3} -\frac{1}{2(e^{2x}+1)^2} \right\}+C $
　(ただし、$C\hspace{2pt}$は積分定数)
　

【解答のポイント】
被積分関数が『分数関数』かつ『指数関数$\hspace{2pt}e^x\hspace{2pt}$を含む』場合は、置換積分法から$\hspace{2pt}t=e^x\hspace{2pt}$と置き換えることで、$t\hspace{2pt}$の分数関数に変形するパターンが多いです。

本問も$\hspace{2pt}t = e^x\hspace{2pt}$と置換することで、$t\hspace{2pt}$の分数関数に変形することができます。
　

$t = e^x\hspace{2pt}$と変数を置き換えると $${\int \frac{t^3}{(t^2+1)^4}\hspace{1pt}dt}$$ に変形されます。

ここで、被積分関数を $${\int \frac{t^2}{(t^2+1)^4}\cdot t \hspace{1pt}dt}$$ と考えます。

$u = t^2+1\hspace{2pt}$と置き換えると、$du = 2t dt\hspace{2pt}$となることから不定積分を求めることができます。
　

【解答】
　問題 :『不定積分$\displaystyle\hspace{2pt}\int \frac{1}{(e^x + e^{-x})^4}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$を求めよ』
　

置換積分法から$\hspace{2pt}t = e^x\hspace{2pt}$とおきます。

$\displaystyle{t = e^x }$ の両辺を$\hspace{2pt}x\hspace{2pt}$で微分すると$\displaystyle\hspace{2pt}\frac{dt}{dx} = e^x\hspace{2pt}$であることから、$\displaystyle{dt = e^x dx}$ と表せます。

変数を置き換えて積分すると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int \frac{1}{(e^x + e^{-x})^4}\hspace{1pt}dx \\[1.4em] &=\int \frac{1}{(t + \frac{1}{t})^4}\cdot \frac{1}{t}\hspace{1pt}dt\\[1.4em] &=\int \frac{1}{(\frac{t^2+1}{t})^4}\cdot \frac{1}{t}\hspace{1pt}dt\\[1.4em] &=\int \frac{t^4}{(t^2+1)^4}\cdot \frac{1}{t}\hspace{1pt}dt\\[1.4em] &=\int \frac{t^3}{(t^2+1)^4}\hspace{1pt}dt\\[1.4em] \end{aligned} $$

となります。

ここで、置換積分法から$\hspace{2pt}u = t^2+1\hspace{2pt}$とおきます。

$\displaystyle{u = t^2+1 }$ の両辺を$\hspace{2pt}t\hspace{2pt}$で微分すると$\displaystyle\hspace{2pt}\frac{du}{dt} = 2t\hspace{2pt}$であることから、$\displaystyle{du = 2t dt}$ と表せます。

変数を置き換えて積分すると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int \frac{t^3}{(t^2+1)^4}\hspace{1pt}dt\\[1.4em] &=\frac{1}{2}\int \frac{t^2}{(t^2+1)^4}\cdot 2t \hspace{1pt}dt\\[1.4em] &=\frac{1}{2} \int\frac{u-1}{u^4} \hspace{1pt}du\\[1.4em] &=\frac{1}{2} \int \left\{ \frac{1}{u^3} - \frac{1}{u^4} \right\}\hspace{1pt}du\\[1.4em] &=\frac{1}{2} \left\{ -\frac{1}{2u^2}+ \frac{1}{3u^3} \right\}+C \\[1.4em] \end{aligned} $$

となります。(ただし、$C\hspace{2pt}$は積分定数)

$t=e^x\hspace{1pt},\hspace{1pt}u = t^2+1\hspace{2pt}$であることから、$u = e^{2x}+1\hspace{2pt}$となります。

したがって、変数を$\hspace{1pt}x\hspace{1pt}$に戻すと問題の不定積分は

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int \frac{1}{(e^x + e^{-x})^4}\hspace{1pt}dx\\[1.4em] &= \frac{1}{2} \left\{\frac{1}{3(e^{2x}+1)^3} -\frac{1}{2(e^{2x}+1)^2} \right\}+C\hspace{10pt}\\[1.4em] \end{aligned} $$

と求められます。
　

【関連するページ】
・置換積分
　