◆第問目！
\(\displaystyle\hspace{2pt}I_1 = \int_1^e \log x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)の定積分は、部分積分により積分します。
部分積分とは、2つの微分可能な関数 \({f(x),\hspace{3pt}g(x)}\) の積分に以下が成り立つことを利用して積分する方法です。
$$ \begin{aligned} & \int f'(x)\hspace{1pt} g(x)\hspace{1pt}dx \\ &\hspace{2pt}= f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx \\ \end{aligned} $$
本問では \({\log x}\) を 『\({1 \times \log x}\)』 という 2つの関数の積とみなし\({\hspace{2pt}f'(x)= 1\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=\log x}\) とおいて計算します。
\(\hspace{2pt}(\log x)^{n+1}\hspace{2pt}\)を以下のように\(\hspace{2pt}(x)' \times (\log x)^{n+1}\hspace{2pt}\)と考えることで部分積分から積分し、漸化式を作ります。
\(1 \leqq x \leqq e\hspace{2pt}\)であるとき\(\hspace{2pt}0 \leqq \log x \leqq 1\hspace{2pt}\)であることから
すなわち $${0 \leqq (\log x)^{n+1} \leqq \log x}$$ となることから
よって $${0 < I_{n+1} < I_1}$$ が導かれます。
この不等式と問題(2)で求めた漸化式を利用することで極限値を求めます。
問題(3)で導いた\(\hspace{2pt}I_n\hspace{2pt}\)の極限値を利用することで簡単に求めることができます。
【答え】
(1) \(\displaystyle I_1 = 1\)
(2) \(\displaystyle I_{n+1} = e -(n+1) I_{n}\)
(3) \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} I_n = 0\)
(4) \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} n I_n = e\)
【解答のポイント】
本問は対数関数\(\hspace{2pt}\log x\hspace{2pt}\)の\(\hspace{2pt}n\hspace{2pt}\)乗の定積分から漸化式を作り、極限を求める問題です。
問題(2)の対数関数の\(\hspace{2pt}n\hspace{2pt}\)乗の定積分から漸化式を作る問題は、部分積分を利用する方法が定石です。
\(\hspace{2pt}(\log x)^{n+1}\hspace{2pt}\)を以下のように\(\hspace{2pt}(x)' \times (\log x)^{n+1}\hspace{2pt}\)と考えることで部分積分を用いて漸化式を作ります。
$$
\begin{aligned}
I_{n+1} &= \int_1^e (\log x)^{n+1} \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int_1^e (x)' (\log x)^{n+1} \hspace{1pt}dx \\[1em]
\end{aligned}
$$
【問題(1)の解答】
問題 :『\(\displaystyle I_n = \int_1^e (\log x)^n \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)\(\hspace{2pt}(n=1,2,3\cdots)\hspace{2pt}\)とおくとき、\(\displaystyle I_1\hspace{2pt}\)を求めよ』
\( I_1\hspace{2pt}\)を部分積分から計算すると以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
I_1 &= \int_1^e \log x \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int_1^e (x)' \log x \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= [ x \log x]_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{1}{x}\hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[1em]
&= e-0 - [ x ]_1^e \hspace{10pt}\\[1em]
&= e -(e-1) \hspace{10pt}\\[1em]
&= 1 \hspace{10pt}\\[1em]
\end{aligned}
$$
【問題(2)の解答】
問題 :『\(\displaystyle I_n = \int_1^e (\log x)^n \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)\(\hspace{2pt}(n=1,2,3\cdots)\hspace{2pt}\)とおくとき、\(\displaystyle I_{n+1}\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}I_n\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}n\hspace{2pt}\)で表せ』
\( I_n\hspace{2pt}\)を部分積分から計算すると以下のようになります。
【問題(3)の解答】
問題 :『\(\displaystyle I_n = \int_1^e (\log x)^n \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)\(\hspace{2pt}(n=1,2,3\cdots)\hspace{2pt}\)とおくとき、\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} I_n\hspace{2pt}\)を求めよ』
問題(2)から $$ I_n = \frac{e-I_{n+1}}{n+1}$$ となります。
ここで、\(1 \leqq x \leqq e\hspace{2pt}\)であるとき\(\hspace{2pt}0 \leqq \log x \leqq 1\hspace{2pt}\)であることから
となることから $${0 \leqq (\log x)^{n+1} \leqq \log x}$$
すなわち
よって、問題(1)から $${ 0 < I_{n+1} < 1}$$ となります。
したがって
$$
\begin{aligned}
\lim_{n \rightarrow \infty} I_n &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{e-I_{n+1}}{n+1} \\[1em]
&= 0\\[1em]
\end{aligned}
$$
と求められます。
【問題(4)の解答】
問題 :『\(\displaystyle I_n = \int_1^e (\log x)^n \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)\(\hspace{2pt}(n=1,2,3\cdots)\hspace{2pt}\)とおくとき、\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} n I_n\hspace{2pt}\)を求めよ』
問題(3)から $${ \lim_{n \rightarrow \infty} I_n = 0}$$ であることを用いると、以下のように求められます。
$$
\begin{aligned}
\lim_{n \rightarrow \infty} n I_n &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n(e-I_{n+1})}{n+1} \\[1em]
&= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(e-I_{n+1})}{1+\frac{1}{n}}\\[1em]
&= e\\[1em]
\end{aligned}
$$
【\(\hspace{2pt}n\hspace{2pt}\)乗の積分】
本問のように関数を\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)乗した定積分を求める問題は
① 部分積分法から積分を計算する
② 漸化式を作る
③ 一般解や極限値を求める
という流れが定石です。
通常は問題に誘導が付きますが、誘導がなくても手順を思い出せるようにしておきましょう。
本問の類題としては、三角関数\(\hspace{2pt}\sin x\hspace{2pt}\)の\(\hspace{2pt}n\hspace{2pt}\)乗の定積分
$${\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^n x \hspace{1pt}dx }$$
タンジェントの\(\hspace{2pt}n\hspace{2pt}\)乗の定積分
$${\int_0^\frac{\pi}{4} \tan^n x \hspace{1pt}dx }$$
分数関数の\(\hspace{2pt}n\hspace{2pt}\)乗の積分
$${\int \frac{1}{(x^2+a^2)^n} \hspace{1pt}dx }$$
などがあります。
【関連するページ】
・部分積分