積分漸化式(sinxのn乗の定積分)の問題と解き方

【答え】
　(1) $\displaystyle I_0 = \frac{\pi}{2} \hspace{1pt}, \hspace{1pt} I_1 = 1$

　(2) 証明問題のため省略

　(3) $\hspace{2pt}n\hspace{2pt}$が偶数のとき $${I_n = \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \cdots \cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}}$$ 　　　$n\hspace{2pt}$が奇数のとき $${I_n = \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \cdots \cdot \frac{2}{3}\cdot 1}$$

　(4)$\displaystyle n I_n I_{n-1} = \frac{\pi}{2}\hspace{2pt}$

　(5) 証明問題のため省略

　(6) $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}n {I_n}^2 = \frac{\pi}{2} \hspace{2pt}$
　

【解答のポイント】
　本問は三角関数$\hspace{2pt}\sin x\hspace{2pt}$の$\hspace{2pt}n\hspace{2pt}$乗の定積分から漸化式を作り、一般解と極限を求める問題です。

問題(2)の三角関数の$\hspace{2pt}n\hspace{2pt}$乗の定積分から漸化式を作る問題は、部分積分を利用する方法が定石です。

$\hspace{2pt}\sin x\hspace{2pt}$の$\hspace{2pt}n\hspace{2pt}$乗の定積分を $$ \begin{aligned} I_n &= \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^n x \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int_0^\frac{\pi}{2} (\sin x) \cdot \sin^{n-1} x \hspace{1pt}dx \\[1em] \end{aligned} $$ と変形することで部分積分から計算します。
　

問題(6)の極限値$\displaystyle \hspace{2pt}\lim_{n \rightarrow \infty} n {I_n}^2\hspace{2pt}$は$\hspace{2pt}I_n\hspace{2pt}$に関する不等式を用いて『はさみうちの原理』から求めます。

はさみうちの原理とは、ある関数$\hspace{1pt}f(x),g(x),h(x)\hspace{1pt}$について $${f(x) \leqq h(x) \leqq g(x)}$$ が成り立つ場合 $$ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \alpha , \lim_{x \rightarrow \infty} g(x) = \alpha $$ であるとき $${\lim_{x \rightarrow \infty} h(x) = \alpha }$$ と極限値を求める手法のことをいいます。

本問のように『不等式の証明』と『極限を求める』という問題がセットになっている場合は、はさみうちの原理を用いると考えましょう。
　

【問題(1)の解答】
　問題 :『$\displaystyle I_n = \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^n x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$$\hspace{2pt}(n=0,1,2,\cdots)\hspace{2pt}$とおくとき、$\displaystyle I_0 , I_1\hspace{2pt}$を求めよ』
　

$I_0 , I_1\hspace{2pt}$を計算すると以下のようになります。 $$ \begin{aligned} I_0 &= \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^0 x \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int_0^\frac{\pi}{2} 1 \hspace{1pt}dx \\[1em] &= [ x ]_0^\frac{\pi}{2} \hspace{10pt}\\[1em] &= \frac{\pi}{2} \hspace{10pt}\\[1em] \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} I_1 &= \int_0^\frac{\pi}{2} \sin x \hspace{1pt}dx \\[1em] &= [- \cos x ]_0^\frac{\pi}{2}\\[1em] &= 1 \\[1em] \end{aligned} $$

【問題(2)の解答】
　問題 :『$\displaystyle I_n = \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^n x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$$\hspace{2pt}(n=0,1,2,\cdots)\hspace{2pt}$とおくとき、$\displaystyle I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}\hspace{2pt}$$(\hspace{2pt} n \geqq 2\hspace{2pt})$ を示せ』
　

$\displaystyle I_n = \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^n x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$を部分積分を使い計算します。

$$ \begin{aligned} \hspace{15pt}I_n &= \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^n x \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int_0^\frac{\pi}{2} (\sin x) \cdot \sin^{n-1} x \hspace{1pt}dx \hspace{10pt}\\[1em] &= \int_0^\frac{\pi}{2} (-\cos x)' \cdot \sin^{n-1} x \hspace{1pt}dx \hspace{10pt}\\[1em] &= \left[ -\cos x \cdot \sin^{n-1} x \right ]_0^\frac{\pi}{2} - \int_0^\frac{\pi}{2} (-\cos x) \cdot (n-1)\sin^{n-2} x \cdot (\cos x)\hspace{1pt}dx \hspace{10pt}\\[1em] &= 0 - 0 +(n-1) \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^2 x \cdot \sin^{n-2} x \hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[1em] &= (n-1) \int_0^\frac{\pi}{2} (1-\sin^2 x) \cdot \sin^{n-2} x \hspace{1pt}dx \hspace{10pt}\\[1em] &= (n-1) \left\{ \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{n-2} x \hspace{1pt}dx - \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^n x \hspace{1pt}dx \right\}\hspace{10pt}\\[1em] &= (n-1) ( I_{n-2} - I_n )\hspace{10pt}\\[1em] \end{aligned} $$

すなわち $${I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}}$$ となります。
　

【問題(3)の解答】
　問題 :『$\displaystyle I_n = \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^n x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$$\hspace{2pt}(n=0,1,2,\cdots)\hspace{2pt}$とおくとき、$\displaystyle I_n\hspace{2pt}$を$\hspace{2pt}n\hspace{2pt}$の式で表せ』
　

問題(2)から漸化式$\displaystyle\hspace{2pt}I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}\hspace{2pt}$から$\hspace{1pt}I_n\hspace{1pt}$を求めます。

漸化式を用いて$\hspace{2pt}I_n\hspace{2pt}$から順番に$\hspace{2pt}I_{n-2} \hspace{1pt}, \hspace{1pt} I_{n-4}\hspace{2pt}$と項をかけると、$\hspace{2pt}n\hspace{2pt}$が偶数か奇数かで最後の項が$\hspace{1pt}I_0\hspace{1pt}$か$\hspace{2pt}I_1\hspace{2pt}$かが変化します。

そのため、$n\hspace{2pt}$が偶数か奇数かで場合分けが必要になります。

[1] $\hspace{2pt}n\hspace{2pt}$が偶数であるとき、問題(2)の漸化式を繰り返し用いて $$ \begin{aligned} I_n &= \frac{n-1}{n}I_{n-2}\\[1em] &= \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot I_{n-4}\\[1em] &= \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \cdots \cdot \frac{1}{2}\cdot I_{0}\\[1em] &= \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \cdots \cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}\\[1em] \end{aligned} $$ と求められます。

[2] $\hspace{2pt}n\hspace{2pt}$が奇数であるとき、問題(2)の漸化式を繰り返し用いて $$ \begin{aligned} I_n &= \frac{n-1}{n}I_{n-2}\\[1em] &= \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot I_{n-4}\\[1em] &= \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \cdots \cdot \frac{2}{3}\cdot I_{1}\\[1em] &= \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \cdots \cdot \frac{2}{3}\cdot 1\\[1em] \end{aligned} $$ と求められます。
　

【問題(4)の解答】
　問題 :『$\displaystyle I_n = \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^n x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$$\hspace{2pt}(n=0,1,2,\cdots)\hspace{2pt}$とおくとき$\displaystyle \hspace{2pt}n I_n I_{n-1}\hspace{2pt}$$ (n \geqq 1)\hspace{2pt}$を求めよ』
　

問題(3)の結果から$\hspace{1pt}n I_n I_{n-1}\hspace{1pt}$を求めると、$n\hspace{2pt}$が偶数であるとき

$$ \begin{aligned} \hspace{15pt} & \hspace{3pt} n I_n I_{n-1} \\[1em] &= \cancel{n} \times \left( \frac{ \cancel{n-1}}{ \cancel{n}}\cdot \frac{\cancel{n-3}}{\cancel{n-2}} \cdot \cdots \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}}\cdot \frac{\cancel{1}}{\cancel{2}}\cdot\frac{\pi}{2} \right) \times \left(\frac{\cancel{n-2}}{\cancel{n-1}}\cdot \frac{\cancel{n-4}}{\cancel{n-3}}\cdot \cdots \cdot \frac{\cancel{4}}{\cancel{5}}\cdot \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}} \right)\hspace{10pt}\\[1em] &= \frac{\pi}{2}\\[1em] \end{aligned} $$

また、$n\hspace{2pt}$が奇数であるとき

$$ \begin{aligned} \hspace{15pt} & \hspace{3pt}n I_n I_{n-1} \\[1em] &= \cancel{n} \times \left( \frac{ \cancel{n-1}}{ \cancel{n}}\cdot \frac{\cancel{n-3}}{\cancel{n-2}} \cdot \cdots \cdot \frac{\cancel{4}}{\cancel{5}} \cdot \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}}\right) \times \left(\frac{\cancel{n-2}}{\cancel{n-1}}\cdot \frac{\cancel{n-4}}{\cancel{n-3}}\cdot \cdots \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \cdot \frac{\cancel{1}}{\cancel{2}} \cdot \frac{\pi}{2} \right)\hspace{10pt}\\[1em] &= \frac{\pi}{2}\\[1em] \end{aligned} $$

($I_n\hspace{2pt}$は偶数と奇数で場合分けして表されましたが、$I_n I_{n-1}\hspace{2pt}$は偶数と奇数の積となるため場合分けの必要がなくなります。)

したがって、$\displaystyle n I_n I_{n-1} = \frac{\pi}{2}\hspace{2pt}$となります。
　

【問題(4)の別解】
　問題 :『$\displaystyle I_n = \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^n x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$$\hspace{2pt}(n=0,1,2,\cdots)\hspace{2pt}$とおくとき$\displaystyle \hspace{2pt}n I_n I_{n-1}\hspace{2pt}$$ (n \geqq 1)\hspace{2pt}$を求めよ』
　

問題(2)の漸化式$\displaystyle\hspace{1pt}I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}\hspace{1pt}$から$\hspace{2pt}n I_n = (n-1)I_{n-2}\hspace{2pt}$となることから $$ \begin{aligned} & \hspace{3pt} n I_n I_{n-1} \\[1em] &= (n-1)I_{n-2} I_{n-1} \\[1em] &= (n-2)I_{n-2} I_{n-3} \\[1em] &= (n-3)I_{n-4} I_{n-3} \\[1em] &= \cdots \\[1em] &= 1 \cdot I_{1} I_{0} \\[1em] &= \frac{\pi}{2} \\[1em] \end{aligned} $$ したがって、$\displaystyle n I_n I_{n-1} = \frac{\pi}{2}\hspace{2pt}$となります。
　

【問題(5)の解答】
　問題 :『$\displaystyle I_n = \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^n x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$$\hspace{2pt}(n=0,1,2,\cdots)\hspace{2pt}$とおくとき、$\displaystyle I_n > I_{n+1}\hspace{2pt}$を示せ』
　

$\displaystyle \hspace{2pt}0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}\hspace{2pt}$において$\hspace{2pt}0 \leqq \sin x \leqq 1\hspace{2pt}$であることから $${\sin^{n+1}x \leqq \sin^n x}$$ となります。(等号が成立するのは$\hspace{2pt}\sin x = 0 , 1\hspace{2pt}$のときです。)

すなわち $${\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{n+1}x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt} < \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^n x \hspace{1pt}dx}$$ となります。

よって $${\displaystyle I_n > I_{n+1}\hspace{2pt}}$$ となります。
　

【問題(6)の解答】
　問題 :『$\displaystyle I_n = \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^n x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$$\hspace{2pt}(n=0,1,2,\cdots)\hspace{2pt}$とおくとき、$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}n {I_n}^2 \hspace{2pt}$を求めよ』
　

問題(5)から $${ I_{n-1} > I_n > I_{n+1}\hspace{2pt}}$$ さらに、$n I_n \hspace{2pt}$をかけると$\hspace{2pt}n I_n > 0\hspace{2pt}$であることから $${\displaystyle n I_n I_{n-1} > n{I_n}^2 > nI_n I_{n+1}\hspace{2pt}}$$ となります。

問題(4)から、$\displaystyle n I_n I_{n-1} = \frac{\pi}{2}\hspace{2pt}$より $$ \begin{aligned} \hspace{15pt} & \hspace{3pt}\lim_{n \rightarrow \infty}n I_n I_{n-1} \\[1em] &= \hspace{3pt}\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\pi}{2}\\[1em] &= \frac{\pi}{2}\\[1em] \end{aligned} $$ また $$ \begin{aligned} \hspace{15pt} & \hspace{3pt}\lim_{n \rightarrow \infty}n I_n I_{n+1} \\[1em] &= \hspace{3pt}\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n}{n+1}(n+1) I_n I_{n+1}\hspace{10pt}\\[1em] &= \hspace{3pt}\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n}{n+1} \times \frac{\pi}{2}\hspace{10pt}\\[1em] &= \hspace{3pt}\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \times \frac{\pi}{2}\hspace{10pt}\\[1em] &= \hspace{3pt}\frac{\pi}{2}\hspace{10pt}\\[1em] \end{aligned} $$ であることから、はさみうちの原理より $${\lim_{n \rightarrow \infty}n {I_n}^2 = \frac{\pi}{2}}$$ となります。
　

【入試本番に向けたアドバイス】
　本問は三角関数$\hspace{2pt}\sin x\hspace{2pt}$の$\hspace{2pt}n\hspace{2pt}$乗の定積分と極限値を求める問題です。

　本問で導いた以下の式をウォリス積分といいます。 $$ \begin{aligned} I_n & =\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^n x \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^n x \hspace{1pt}dx\\[1em] \end{aligned} $$ とすると、$\hspace{2pt}n\hspace{2pt}$が偶数のとき $${I_n = \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \cdots \cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}}$$ $\hspace{2pt}n\hspace{2pt}$が奇数のとき $${I_n = \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \cdots \cdot \frac{2}{3}\cdot 1}$$

本問では示しませんでしたが $${\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^n x \hspace{1pt}dx = \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^n x \hspace{1pt}dx}$$ の式は、$\displaystyle t = \frac{\pi}{2} - x\hspace{2pt}$と置換することで求めるができます。

このウォリス積分をテーマにした問題は数学Ⅲでは頻出のため、計算の流れを頭に入れておくようにしましょう。
　

【$\hspace{2pt}n\hspace{2pt}$乗の積分】
　本問のように関数を$\hspace{1pt}n\hspace{1pt}$乗した定積分を求める問題は
　　① 部分積分法から積分を計算する
　　② 漸化式を作る
　　③ 極限値や一般解を求める
　という流れが定石です。

　通常は問題に誘導が付きますが、誘導がなくても手順を思い出せるようにしておきましょう。

本問の類題としては、タンジェントの$\hspace{2pt}n\hspace{2pt}$乗の定積分 $${\int_0^\frac{\pi}{4} \tan^n x \hspace{1pt}dx }$$ 対数関数の$\hspace{2pt}n\hspace{2pt}$乗の積分 $${\int (\log x)^n \hspace{1pt}dx }$$ 分数関数の$\hspace{2pt}n\hspace{2pt}$乗の積分 $${\int \frac{1}{(x^2+a^2)^n} \hspace{1pt}dx }$$ などがあります。
　

【関連するページ】
・部分積分
　