sinmxsinnxの定積分の問題と解き方 | 積分ランダム問題集

【答え】
　(1) $m \neq n\hspace{2pt}$のとき$\hspace{2pt}0$
　$\hspace{16pt}m = n\hspace{2pt}$のとき$\displaystyle\hspace{2pt}\pi$

　(2) $100 \pi$
　

【解答のポイント】
まず、積和の公式

$$ \begin{aligned} & \sin \alpha \sin \beta \\[0.5em] \hspace{10pt} & =-\frac{1}{2}\{ \cos(\alpha + \beta) -\cos(\alpha - \beta)\}\hspace{10pt}\\ \end{aligned} $$

から被積分関数$\hspace{2pt}\sin {m x} \sin {n x}\hspace{2pt}$を変形すると

$$ \begin{aligned} & \sin {m x} \sin {n x}\\[0.5em] \hspace{10pt} & =-\frac{1}{2}\{ \cos(m+n)x - \cos(m-n)x \}\hspace{10pt}\\ \end{aligned} $$

となります。

上式を (1)$\hspace{2pt}m \neq n\hspace{2pt}$ と (2)$\hspace{2pt}m=n\hspace{2pt}$ の場合に分けて積分します。
　

【問題(1)の解答】
　問題 :『定積分$\displaystyle\hspace{2pt}\int_{-\pi}^{\pi}\sin {m x} \sin {n x} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$を求めよ。$\hspace{2pt}m,n\hspace{2pt}$は正の整数とする。』
　

まず、積和の公式

$$ \begin{aligned} & \sin \alpha \sin \beta \\[0.5em] \hspace{10pt} & =-\frac{1}{2}\{ \cos(\alpha + \beta) -\cos(\alpha - \beta)\}\hspace{10pt}\\ \end{aligned} $$

から被積分関数$\hspace{2pt}\sin {m x} \sin {n x}\hspace{2pt}$を変形すると

$$ \begin{aligned} & \sin {m x} \sin {n x}\\[0.5em] \hspace{10pt} & =-\frac{1}{2}\{ \cos(m+n)x - \cos(m-n)x \}\hspace{10pt}\\ \end{aligned} $$

となります。
　

[1] $m \neq n\hspace{2pt}$のとき
　定積分$\displaystyle\hspace{2pt}\int_{-\pi}^{\pi}\sin {m x} \sin {n x} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$を計算すると

$$ \begin{aligned} \hspace{20pt}& \int_{-\pi}^{\pi}\sin {m x} \sin {n x} \hspace{1pt}dx \\[1em] & = -\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\{ \cos(m+n)x - \cos(m-n)x\} \hspace{1pt}dx\hspace{10pt} \\[1em] & =-\frac{1}{2} \left[\frac{\sin(m+n)x}{m+n} - \frac{\sin(m-n)x}{m-n} \right]_{-\pi}^{\pi}\\[1em] & =0\hspace{10pt} \\ \end{aligned} $$

となります。
　

[2] $m = n\hspace{2pt}$のとき
　定積分$\displaystyle\hspace{2pt}\int_{-\pi}^{\pi}\sin {m x} \sin {n x} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$を計算すると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int_{-\pi}^{\pi}\sin {m x} \sin {n x} \hspace{1pt}dx \\[1em] & = \int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 m x\hspace{1pt}dx \\[1em] & =\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1-\cos 2mx}{2}\hspace{1pt}dx \\[1em] & =\frac{1}{2}\left[x -\frac{\sin 2mx}{2m} \right]_{-\pi}^{\pi} \\[1em] & = \frac{1}{2} (\pi - (-\pi))\\[1em] & =\pi\\[1em] \end{aligned} $$

となります。

[1]、[2]から
　$m \neq n\hspace{2pt}$のとき$\hspace{2pt}0\hspace{2pt}$
　$m = n\hspace{2pt}$のとき$\displaystyle\hspace{2pt}\pi\hspace{2pt}$
となります。
　

【問題(2)の解答】
　問題 :『定積分$\displaystyle\hspace{2pt}\int_{-\pi}^{\pi} \left ( \sum_1^{100}\sin {k x}\right )^2 \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$を求めよ。』
　

問題(1)の結果を利用して以下のように求めます。

$$ \begin{aligned} \hspace{20pt}& \int_{-\pi}^{\pi} \left ( \sum_1^{100}\sin {k x}\right )^2 \hspace{1pt}dx\\[1.5em] \hspace{10pt} & =\int_{-\pi}^{\pi} \left ( \sin { x} + \sin { 2x} + \cdots +\sin { 100x}\right ) \hspace{10pt}\\[0.7em] \hspace{10pt} & \hspace{25pt}\times \left ( \sin { x} + \sin { 2x} + \cdots +\sin { 100x}\right ) \hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[0.7em] \hspace{10pt} & =\int_{-\pi}^{\pi} \left ( \sin^2 { x} + \sin^2 { 2x} + \cdots +\sin^2 { 100x}\right ) \hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[0.7em] \hspace{10pt} & = \pi + \pi + \cdots + \pi\hspace{10pt}\\[0.7em] \hspace{10pt} & = 100\pi \hspace{10pt}\\ \end{aligned} $$

と求められます。
　

【入試本番に向けたアドバイス】
　本問は、整数$\hspace{2pt}m , n\hspace{2pt}$を含む三角関数の積の定積分の問題です。
数学Ⅲの入試問題では、よく出題される問題の形式です。

類題としては$\hspace{2pt}\sin\hspace{2pt}$関数と$\hspace{2pt}\cos\hspace{2pt}$関数の積 $${\int_{0}^{\pi}\sin {m x} \cos {n x} \hspace{1pt}dx}$$ や$\hspace{2pt}\cos\hspace{2pt}$関数の積 $${\int_{-\pi}^{\pi}\cos {m x} \cos {n x} \hspace{1pt}dx}$$ のパターンがあります。

これらの三角関数の積の定積分は $\hspace{2pt}m \neq n\hspace{2pt}$ と $\hspace{2pt}m=n\hspace{2pt}$ の場合に分けて計算する必要があります。

問題文に誘導がなくても計算できるように、計算過程を覚えておきましょう。
　