sinmxcosnxの定積分の問題と解き方 | 積分ランダム問題集

【答え】
　$m+n\hspace{2pt}$が偶数のとき$\hspace{2pt}0\hspace{2pt}$
　$m+n\hspace{2pt}$が奇数のとき$\displaystyle\hspace{2pt}\frac{2m}{m^2-n^2}\hspace{2pt}$
　

【解答のポイント】
まず、積和の公式

$$ \begin{aligned} & \sin \alpha \sin \beta \\[0.5em] \hspace{10pt} & =\frac{1}{2}\{ \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)\}\hspace{10pt}\\ \end{aligned} $$

から被積分関数$\hspace{2pt}\sin {m x} \cos {n x}\hspace{2pt}$を変形すると

$$ \begin{aligned} & \sin {m x} \cos {n x}\\[0.5em] \hspace{10pt} & =\frac{1}{2}\{ \sin(m+n)x + \sin(m-n)x \}\hspace{10pt}\\ \end{aligned} $$

となります。

上式を (1)$\hspace{2pt}m \neq n\hspace{2pt}$ と (2)$\hspace{2pt}m=n\hspace{2pt}$ の場合に分けて積分します。
　

【解答】
　問題 :『定積分$\displaystyle\hspace{2pt}\int_0^{\pi}\sin {m x} \cos {n x} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$を求めよ。$\hspace{2pt}m,n\hspace{2pt}$は正の整数とする。』
　

まず、積和の公式

$$ \begin{aligned} & \sin \alpha \sin \beta \\[0.5em] \hspace{10pt} & =\frac{1}{2}\{ \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)\}\hspace{10pt}\\ \end{aligned} $$

から被積分関数$\hspace{2pt}\sin {m x} \cos {n x}\hspace{2pt}$を変形すると

$$ \begin{aligned} & \sin {m x} \cos {n x}\\[0.5em] \hspace{10pt} & =\frac{1}{2}\{ \sin(m+n)x + \sin(m-n)x \}\hspace{10pt}\\ \end{aligned} $$

となります。
　

(1) $m \neq n\hspace{2pt}$のとき
定積分$\displaystyle\hspace{2pt}\int_0^{\pi}\sin {m x} \cos {n x} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}$を計算すると

$$ \begin{aligned} \hspace{20pt}& \int_0^{\pi}\sin {m x} \cos {n x} \hspace{1pt}dx \\[1em] & = \frac{1}{2}\int_0^{\pi}\{ \sin(m+n)x + \sin(m-n)x\} \hspace{1pt}dx \\[1em] & =\frac{1}{2} \left[\frac{-1}{m+n}\cos(m+n)x + \frac{-1}{m-n}\cos(m-n)x \right]_0^{\pi} \\[1em] & =-\frac{1}{2}\left \{\frac{\cos(m+n)\pi}{m+n}+ \frac{\cos(m-n)\pi}{m-n} -\frac{2m}{m^2-n^2}\right\}\hspace{10pt} \\[1em] \end{aligned} $$

となります。

ここで $\cos(m+n)\pi , \cos(m-n)\pi\hspace{2pt}$の値は$\hspace{2pt}m+n\hspace{2pt}$が偶数か奇数かで値が変わるため、場合分けします。
　

[1] $m+n\hspace{2pt}$が偶数であるとき
　$m+n\hspace{2pt}$が偶数であるとき、$m-n\hspace{2pt}$も偶数となります。(証明は後述)

　したがって

$$ \begin{aligned} \hspace{20pt}& -\frac{1}{2}\left \{\frac{\cos(m+n)\pi}{m+n}+ \frac{\cos(m-n)\pi}{m-n} -\frac{2m}{m^2-n^2}\right\}\hspace{10pt} \\[1em] & =-\frac{1}{2}\left \{\frac{1}{m+n}+ \frac{1}{m-n} -\frac{2m}{m^2-n^2}\right\}\hspace{10pt} \\[1em] & =0\hspace{10pt} \\[1em] \end{aligned} $$

となります。
　

[2] $m+n\hspace{2pt}$が奇数であるとき
　$m+n\hspace{2pt}$が奇数であるとき、$m-n\hspace{2pt}$も奇数となります。(証明は後述)

　したがって

$$ \begin{aligned} \hspace{20pt}& -\frac{1}{2}\left \{\frac{\cos(m+n)\pi}{m+n}+ \frac{\cos(m-n)\pi}{m-n} -\frac{2m}{m^2-n^2}\right\}\hspace{10pt} \\[1em] & =-\frac{1}{2}\left \{-\frac{1}{m+n}- \frac{1}{m-n} -\frac{2m}{m^2-n^2}\right\}\hspace{10pt} \\[1em] & =\frac{2m}{m^2-n^2}\hspace{10pt} \\[1em] \end{aligned} $$

となります。
　

(2) $m = n\hspace{2pt}$のとき
　$m = n\hspace{2pt}$であるとき、$m+n\hspace{2pt}$は偶数となります。

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int_0^{\pi}\sin {m x} \cos {n x} \hspace{1pt}dx \\[1em] & = \int_0^{\pi}\frac{1}{2}\sin 2m x\hspace{1pt}dx \\[1em] & =\frac{1}{2} \left[- \frac{\cos 2m x}{2m}\right]_0^{\pi}\\[1em] & = -\frac{1}{4m} (\cos 2m \pi - 1)\\[1em] & =0\\[1em] \end{aligned} $$

となります。

(1)、(2)から
　$m+n\hspace{2pt}$が偶数のとき$\hspace{2pt}0\hspace{2pt}$
　$m+n\hspace{2pt}$が奇数のとき$\displaystyle\hspace{2pt}\frac{2m}{m^2-n^2}\hspace{2pt}$
となります。
　

【補足】
計算過程に
　・$2\hspace{2pt}$つの整数の和が偶数であるとき、差も偶数となる
　・$2\hspace{2pt}$つの整数の和が奇数であるとき、差も奇数となる
であることを用いました。

このことは、以下のように簡単に証明することができます。

$m,n \hspace{2pt}$を整数とします。
$m+n\hspace{2pt}$が偶数であるとき、ある整数を$\hspace{1pt}a\hspace{1pt}$とすると $${m+n = 2a}$$ となります。

このとき、$m-n \hspace{2pt}$は $$ \begin{aligned} \hspace{10pt} m - n & = m + n -2n \\[0.5em] & = 2a - 2n \\[0.5em] & =2 (a-n)\\[0.5em] \end{aligned} $$ となることから、$2\hspace{2pt}$つの整数の和が偶数であるとき、差も偶数となります。

また、$m+n\hspace{2pt}$が奇数であるとき、ある整数を$\hspace{1pt}a\hspace{1pt}$とすると $${m+n = 2a+1}$$ となります。

このとき、$m-n \hspace{2pt}$は $$ \begin{aligned} \hspace{10pt} m - n & = m + n -2n \\[0.5em] & = 2a+1 - 2n \\[0.5em] & =2 (a-n) +1\\[0.5em] \end{aligned} $$ となることから、$2\hspace{2pt}$つの整数の和が奇数であるとき、差も奇数となります。
　

【入試本番に向けたアドバイス】
　本問は、整数$\hspace{2pt}m , n\hspace{2pt}$を含む三角関数の積の定積分の問題です。
数学Ⅲの入試問題では、よく出題される問題の形式です。

類題としては$\hspace{2pt}\sin\hspace{2pt}$関数の積 $${\int_{-\pi}^{\pi}\sin {m x} \sin {n x} \hspace{1pt}dx}$$ や$\hspace{2pt}\cos\hspace{2pt}$関数の積 $${\int_{-\pi}^{\pi}\cos {m x} \cos {n x} \hspace{1pt}dx}$$ のパターンがあります。

これらの三角関数の積の定積分は $\hspace{2pt}m \neq n\hspace{2pt}$ と $\hspace{2pt}m=n\hspace{2pt}$ の場合に分けて計算する必要があります。

問題文に誘導がなくても計算できるように、計算過程を覚えておきましょう。
　