球が内接する円錐の表面積の最小値

【解答のポイント①】
本問は、微分を利用して図形の表面積の最小値を求める問題です。

問題文に変数\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)が明示されていないため、自分で変数を設定する必要があります。

本問では、円錐の高さを\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)とおくと計算が楽になります。

円錐の底面の半径を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)とおいても解けますが、\(x\hspace{1pt}\)の次数が大きくなり、計算が少し難しくなります。

できるだけ簡単な式で表せるように変数を設定することがポイントです。

【解答のポイント②】
本問では、円錐の底面の中心を通り、底面に垂直な平面の断面を書いて、内接する球との関係を整理します。

断面の図中に相似な三角形あることから、他の辺の長さを\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)で表すことができます。

『円錐に球が内接している』という条件の問題は『断面に相似な三角形があることを利用する』ことが多いため、パターンとして覚えておくと他の問題でも役に立ちます。

【解答】
円錐の底面の中心を通り、底面に垂直な平面の断面を図にすると以下のようになります。

断面の三角形の頂点を\(\hspace{1pt}A,B,C\hspace{1pt}\)とします。

また、内接する円の中心を点\(\hspace{1pt}O\hspace{1pt}\)、点\(\hspace{1pt}O\hspace{1pt}\)から辺\(\hspace{1pt}AB\hspace{1pt}\)に垂直に引いた垂線の足を点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)、点\(\hspace{1pt}O\hspace{1pt}\)から辺\(\hspace{1pt}BC\hspace{1pt}\)に垂直に引いた垂線の足を点\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)とします。

円錐の高さを\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)とします。
線分\(\hspace{1pt}AO\hspace{1pt}\)の長さが\(\hspace{1pt}x-1\hspace{1pt}\)、線分\(\hspace{1pt}PO\hspace{1pt}\)の長さが\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)であることから、線分\(\hspace{1pt}AP\hspace{1pt}\)の長さは

$$\sqrt{(x-1)^2 - 1^2}= \sqrt{x^2 -2x}$$ となります。

このとき、\(x\hspace{1pt}\)の定義域は\(\hspace{2pt} x > 0\hspace{2pt}\)かつ\(\hspace{2pt}x^2 -2x > 0\hspace{2pt}\)であるので $${ x > 2}$$ となります。

ここで、底面の半径を\(\hspace{1pt}r\hspace{1pt}\)として相似な三角形\(\hspace{1pt}ABQ\hspace{1pt}\)と\(\hspace{1pt}APO\hspace{1pt}\)に注目すると $${r : x = 1 : \sqrt{x^2 -2x} }$$ すなわち $$\begin{aligned} x & = r\sqrt{x^2 -2x} \\[0.7em] r & = \frac{x}{\sqrt{x^2 -2x}} \\[0.7em] & = \sqrt{\frac{x}{x -2} }\\[0.5em] \end{aligned}$$ となります。

ここで、円錐を展開した扇形の中心角を\(\hspace{1pt}\theta\hspace{1pt}\)(ラジアン)とすると、半径\(\hspace{1pt}\sqrt{r^2 + x^2}\hspace{1pt}\)、円弧の長さは円錐の底面の円周と一致することから\(\hspace{1pt}2 \pi r\hspace{1pt}\)であるため $$\begin{aligned} \sqrt{r^2 + x^2} \times \theta & = 2 \pi r \\[0.7em] \theta & = \frac{ 2 \pi r }{\sqrt{r^2 + x^2}} \\[0.7em] \end{aligned}$$ したがって、円錐の表面積を\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)とすると

となります。

\(\displaystyle r = \sqrt{\frac{x}{x -2} }\hspace{1pt}\)であることから

\(\displaystyle x > 2 \hspace{1pt}\)であることから

関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)の一次導関数を求めると

となります。

\({f'(x)=0}\) を満たす\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)を求めると $${ \pi\frac{x(x - 4)}{(x -2)^2} = 0}$$ から $${x = 4 }$$ となります。

ここで、\(\displaystyle x=4 \hspace{1pt}\)の前後における \(\displaystyle{f'(x)}\) の符号の変化を調べます。

\(\displaystyle f'(x)=\pi\frac{x(x - 4)}{(x -2)^2} \) より
　\({\displaystyle 2 < x < 4}\)　のとき \({f'(x) < 0}\)
　\({ x > 4 \hspace{2pt}}\)　　　のとき \({f'(x) > 0}\)
となります。

よって、関数\(\displaystyle {f(x)}\) は \({\displaystyle x=4 }\) で極小値をとります。

関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)の増減表を書くと以下のようになります。

上記の増減表から、円錐に半径\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)の球が内接しているときの円錐の表面積の最小値は\(\hspace{1pt}8 \pi\hspace{1pt}\)となります。