【解答のポイント】
本問は、まず\(\hspace{1pt}n=1,2,3\cdots\hspace{1pt}\)の式を調べて第\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)次導関数の式を推定します。
次に、推定した式を数学的帰納法から証明します。
【解答】
まず、\(n=1,2,3\hspace{2pt}\)の場合を調べます。
【\(\hspace{1pt}n=1\hspace{1pt}\)のとき】
$$\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \frac{d}{dx} \frac{1}{ax+b} \\[1em]
\hspace{10pt}& = - \frac{1}{(ax+b)^2} \cdot (ax+b)'\hspace{10pt}\\[1em]
\hspace{10pt}& = - \frac{a}{(ax+b)^2} \hspace{10pt}\\[1em]
\end{aligned}$$
【\(\hspace{1pt}n=2\hspace{1pt}\)のとき】
$$\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \frac{d^2}{dx^2} \frac{1}{ax+b} \\[1em]
\hspace{10pt}& = \frac{d}{dx}\left( - \frac{a}{(ax+b)^2} \right)\hspace{10pt}\\[1em]
\hspace{10pt}& = -a\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{(ax+b)^2} \right)\hspace{10pt}\\[1em]
\hspace{10pt}& = - a \frac{-2}{(ax+b)^3} \cdot (ax+b)'\hspace{10pt}\\[1em]
\hspace{10pt} & = \frac{2a^2}{(ax+b)^3} \hspace{10pt}\\[1em]
\end{aligned}$$
【\(\hspace{1pt}n=3\hspace{1pt}\)のとき】
$$\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \frac{d^3}{dx^3} \frac{1}{ax+b} \\[1em]
\hspace{10pt}& = \frac{d}{dx}\left( \frac{2a^2}{(ax+b)^3}\right)\hspace{10pt}\\[1em]
\hspace{10pt}& =2a^2 \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{(ax+b)^3}\right) \hspace{10pt}\\[1em]
\hspace{10pt}& =2a^2 \left( \frac{-3}{(ax+b)^4}\right)\cdot (ax+b)' \hspace{10pt}\\[1em]
\hspace{10pt}& = \frac{-6a^3}{(ax+b)^4} \hspace{10pt}\\[1em]
\end{aligned}$$
以上から
$${\hspace{10pt}\frac{d^n}{dx^n} \frac{1}{ax+b} = \frac{(-1)^{n} \cdot n! \cdot a^n}{(ax+b)^{n+1}}\cdots (1)\hspace{10pt}}$$
と推測します。
(1)式が成り立つことを数学的帰納法から示します。
[1] \(\hspace{1pt}n=1\hspace{1pt}\)のとき
$${\frac{d}{dx} \frac{1}{ax+b} =-\frac{a}{(ax+b)^2}}$$
となります。
また、(1)の右辺は
$${ \frac{(-1)^{1} \cdot 1! \cdot a^1}{(ax+b)^{2}} = -\frac{a}{(ax+b)^2}}$$
であることから、(1)は成り立ちます。
[2] \(\hspace{1pt} n = k \hspace{1pt}\)のとき(1)が成り立つと仮定します。
$${\hspace{10pt} \frac{d^k}{dx^k} \frac{1}{ax+b} = \frac{(-1)^{k} \cdot k! \cdot a^k}{(ax+b)^{k+1}}\cdots (2)\hspace{10pt}}$$
(2)式において\(\hspace{1pt}n=k+1\hspace{1pt}\)としたとき、左辺を変形すると以下のようになります。
$$\begin{aligned}
\hspace{10pt} & \frac{d^{k+1}}{dx^{k+1}} \frac{1}{ax+b} \hspace{10pt}\\[1em]
\hspace{10pt} & = \frac{d}{dx} \left( \frac{d^{k}}{dx^{k}} \frac{1}{ax+b}\right)\hspace{10pt}\\[1em]
\hspace{10pt} & = \frac{d}{dx} \left( \frac{(-1)^{k} \cdot k! \cdot a^k}{(ax+b)^{k+1}} \right) \hspace{10pt}\\[1em]
\hspace{10pt} & =(-1)^{k} \cdot k! \cdot a^k \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{(ax+b)^{k+1}} \right) \hspace{10pt}\\[1em]
\hspace{10pt} & =(-1)^{k} \cdot k! \cdot a^k \left( \frac{-a(k+1)}{(ax+b)^{k+2}} \right) \hspace{10pt}\\[1em]
\hspace{10pt} & = \frac{(-1)^{k+1} \cdot (k+1)! \cdot a^{k+1}}{(ax+b)^{(k+1)+1}} \hspace{10pt}\\[1em]
\end{aligned}$$
よって、\(\hspace{1pt}n=k+1\hspace{1pt}\)のときにも(1)式は成り立ちます。
[1],[2] から、すべての自然数\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)について(1)式は成り立ちます。
したがって、\(\displaystyle\hspace{1pt} y= \frac{1}{ax+b} \hspace{1pt}\)の第\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)次導関数は
$${\frac{d^n}{dx^n} \frac{1}{ax+b} = \frac{(-1)^{n} \cdot n! \cdot a^n}{(ax+b)^{n+1}}}$$
となります。