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x^nの導関数を定義に従って求める

◆第問目！

【 数Ⅲ : 難易度 ★★★ 】
　次の導関数を定義に従って求めよ
　ただし、\(n\hspace{1pt}\)は自然数とする
$${\large y=x^n}$$

関数\({f(x)}\)の導関数\(\hspace{1pt}f'(x)\hspace{1pt}\)は以下の式から計算します。 $$\displaystyle{f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

また、計算には以下の二項定理を使用します。

$${\hspace{10pt}(a+b)^n = {}_n C_0 a^n + {}_n C_1 a^{n-1}b + {}_n C_2 a^{n-2}b^2 + \cdots + {}_n C_n b^n \hspace{10pt}}$$

【答え】
\(\hspace{1pt}y'= n x^{n-1}\hspace{1pt}\)
　

【解答のポイント】
関数\({f(x)}\)の導関数\(\hspace{1pt}f'(x)\hspace{1pt}\)は以下の式から計算します。 $$\displaystyle{f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

また、計算には以下の二項定理を使用して\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)乗の式を展開します。

$${\hspace{10pt}(a+b)^n = {}_n C_0 a^n + {}_n C_1 a^{n-1}b + {}_n C_2 a^{n-2}b^2 + \cdots + {}_n C_n b^n \hspace{10pt}}$$

　

【解答】
導関数の定義 $${f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$ から

$$\begin{aligned} \hspace{10pt}y' & =\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\\[1em] & =\lim_{h \to 0}\frac{1}{h}( {}_n C_0 x^n + {}_n C_1 x^{n-1}h + {}_n C_2 x^{n-2}h^2 + \cdots + {}_n C_n h^n -x^n )\hspace{10pt}\\[1em] & =\lim_{h \to 0}\frac{1}{h}( {}_n C_1 x^{n-1}h + {}_n C_2 x^{n-2}h^2 + \cdots + {}_n C_n h^n )\hspace{10pt}\\[1em] & =\lim_{h \to 0}( {}_n C_1 x^{n-1} + {}_n C_2 x^{n-2}h + \cdots + {}_n C_n h^{n-1} )\hspace{10pt}\\[1em] & = {}_n C_1 x^{n-1} \hspace{10pt}\\[1em] & = n x^{n-1} \hspace{10pt}\\[0.5em] \end{aligned}$$

となります。

したがって、\(\displaystyle {y=x^n}\) の導関数は \(\displaystyle{y'= n x^{n-1}}\) と求められます。
　

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・導関数の定義

【出題範囲】　【難易度】



　



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