【解答】
導関数の定義
$${f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$
から
$$\begin{aligned}
\hspace{10pt}y' & =\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\\[1em]
& =\lim_{h \to 0}\frac{1}{h}( {}_n C_0 x^n + {}_n C_1 x^{n-1}h + {}_n C_2 x^{n-2}h^2 + \cdots + {}_n C_n h^n -x^n )\hspace{10pt}\\[1em]
& =\lim_{h \to 0}\frac{1}{h}( {}_n C_1 x^{n-1}h + {}_n C_2 x^{n-2}h^2 + \cdots + {}_n C_n h^n )\hspace{10pt}\\[1em]
& =\lim_{h \to 0}( {}_n C_1 x^{n-1} + {}_n C_2 x^{n-2}h + \cdots + {}_n C_n h^{n-1} )\hspace{10pt}\\[1em]
& = {}_n C_1 x^{n-1} \hspace{10pt}\\[1em]
& = n x^{n-1} \hspace{10pt}\\[0.5em]
\end{aligned}$$
となります。
したがって、\(\displaystyle {y=x^n}\) の導関数は \(\displaystyle{y'= n x^{n-1}}\) と求められます。
【関連するページ】
・導関数の定義