円に内接する長方形の面積の最大値

【解答のポイント】
本問は、微分を利用して図形の面積の最大値を求める問題です。

問題文に変数\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)が明示されていないため、自分で変数を設定する必要があります。

図形の面積・体積の問題は、計算式が簡単になるように変数を設定することが重要です。

本問では長方形の一辺の長さを\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)とおき、面積を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の式で表すことで最大値を求めることができます。

【解答】
円に内接する長方形を図示すると、以下のようになります。

円周角の定理から、長方形の対角線は内接する円の直径となります。
すなわち、図の長方形の対角線の長さは\(\hspace{1pt}2r\hspace{1pt}\)となります。

また、長方形のある一辺の長さを\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)とすると、その辺と直交する辺の長さは三平方の定理から $$\sqrt{(2r)^2 - x^2}= \sqrt{4r^2 -x^2}$$ となります。

このとき、\(x\hspace{1pt}\)の定義域は\(\hspace{2pt} x > 0\hspace{2pt}\)かつ\(\hspace{2pt}4r^2 -x^2 > 0\hspace{2pt}\)であるので $${ 0 < x < 2r}$$ となります。

円に内接する長方形の面積を\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)とすると $${f(x) = x \sqrt{4r^2 -x^2}}$$ となります。

一次導関数を求めると

となります。

\({f'(x)=0}\) を満たす\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)を求めると $${ \frac{-2(x + \sqrt{2}r)(x - \sqrt{2}r)}{ \sqrt{4r^2 -x^2}} = 0}$$ から $${x = \sqrt{2}r }$$ となります。

ここで、\(\displaystyle x= \sqrt{2}r \hspace{1pt}\)の前後における \(\displaystyle{f'(x)}\) の符号の変化を調べます。

\(\displaystyle f'(x)=\frac{-2(x + \sqrt{2}r)(x - \sqrt{2}r)}{ \sqrt{4r^2 -x^2}} \) より
　\({\displaystyle 0 < x < \sqrt{2}r }\)　　　 のとき \({f'(x) > 0}\)
　\({ \sqrt{2}r < x < 2r \hspace{2pt}}\)　のとき \({f'(x) < 0}\)
となります。

よって、関数\(\displaystyle {f(x)}\) は \({\displaystyle x=\sqrt{2}r }\) で極大値をとります。

関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)の増減表を書くと以下のようになります。

上記の増減表から、半径\(\hspace{1pt}r\hspace{1pt}\)の円に内接する長方形の面積の最大値は\(\hspace{1pt} 2 r^2 \hspace{1pt}\)となります。
また、面積が最大になるときの長方形は、一辺の長さが\(\displaystyle \sqrt{2}r \hspace{1pt}\)の正方形となります。