指数関数を含む方程式の実数解の個数

【解答】

問題の方程式は $${e^{-x} (x^2 +x -5) = a}$$ と同値となります。

次に、左辺と右辺をそれぞれ $$\begin{aligned} f(x) & =e^{-x} (x^2 +x -5)\\[0.5em] g(x) & =a\\[0.5em] \end{aligned}$$ とします。上記の2つの関数の交点の個数が、求める方程式の実数解の個数となります。

\(\displaystyle f(x)=e^{-x} (x^2 +x -5)\hspace{1pt}\)のとき

となります。

\({f'(x)=0}\) を解くと $${-e^{-x} (x+2)(x-3) = 0}$$ から \(x = -2 ,3\hspace{1pt}\)となります。

ここで、\(x = -2 , 3\hspace{1pt}\)の前後における \(\displaystyle{f'(x)}\) の符号の変化を調べます。

\(\displaystyle f'(x)=-e^{-x} (x+2)(x-3) \) より
　\({ x > -2}\)　　　 のとき \({f'(x) < 0}\)
　\({ -2 < x < 3 \hspace{2pt}}\)　のとき \({f'(x) > 0}\)
　\({ x > 3 \hspace{2pt}}\)　　　　のとき \({f'(x) < 0}\)
となります。

よって、関数\(\displaystyle {f(x)}\) は \({x=-2}\) で極小値、\({x=3}\) で極大値をとります。

以上から、増減表を作ると 以下のようになります。

また、\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)が正の整数であるとき\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \hspace{1pt}\)であることから $$\begin{aligned} & \lim_{x \rightarrow \infty} e^{-x} (x^2 +x -5)\\[0.5em] & = \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x^2}{e^x} + \frac{x}{e^x} -\frac{5}{e^x} \right )\\[0.5em] & = 0\\[0.5em] \end{aligned}$$ となることから、\(x\hspace{1pt}\)軸が漸近線となります。

また、\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{1}{e^x} = \infty \hspace{2pt},\)\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} (x^2 +x -5) = \infty \hspace{1pt}\)であることから $${\lim_{x \rightarrow -\infty} e^{-x} (x^2 +x -5) = \infty}$$ となります。

以上から、\(\displaystyle f(x)= e^{-x} (x^2 +x -5)\hspace{3pt}\)のグラフは以下のようになります。

したがって、\(\displaystyle f(x)= e^{-x} (x^2 +x -5)\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}g(x)=a\hspace{1pt}\)の交点の個数が求める方程式の実数解の個数となるため

　\(\displaystyle a < -3e^2 \hspace{1pt}\)のとき\(\hspace{3pt}0\hspace{1pt}\)個

　\(\displaystyle a =-3e^2 , a > \frac{7}{e^3}\hspace{1pt}\)のとき\(\hspace{3pt}1\hspace{1pt}\)個

　\(\displaystyle a = \frac{7}{e^3} ,\hspace{1pt} -3e^2 < a \leqq 0 \hspace{1pt}\)のとき\(\hspace{3pt}2\hspace{1pt}\)個

　\(\displaystyle 0 < a < \frac{7}{e^3} \hspace{1pt}\)のとき\(\hspace{3pt}3\hspace{1pt}\)個

となります。