対数関数を含む方程式の実数解の個数

【解答】

対数の真数条件から\(\hspace{1pt}x > 0\hspace{1pt}\)であることから、問題の方程式は $${\frac{ 2\log x - \log 2}{x} = a}$$ と同値となります。

次に、左辺と右辺をそれぞれ $$\begin{aligned} f(x) & =\frac{ 2\log x - \log 2}{x}\\[0.5em] g(x) & =a\\[0.5em] \end{aligned}$$ とします。上記の2つの関数の交点の個数が、求める方程式の実数解の個数となります。

\(\displaystyle f(x)=\frac{2 \log x - \log 2}{x}\hspace{1pt}\)のとき

となります。

\({f'(x)=0}\) を解くと $$\begin{aligned} \frac{ x}{\sqrt{2} e} & =1\\[0.5em] x & = \sqrt{2} e\\[0.5em] \end{aligned}$$ となります。

ここで、\(x = \sqrt{2} e\hspace{1pt}\)の前後における \(\displaystyle{f'(x)}\) の符号の変化を調べます。

\({\displaystyle f'(x)=\frac{ -2 \log \frac{ x}{\sqrt{2} e} }{x^2} }\) より

　\({0 < x < \sqrt{2} e}\)　 のとき \({f'(x) > 0}\)
　\({ x > \sqrt{2} e \hspace{2pt}}\) 　　のとき \({f'(x) < 0}\)

となります。

よって、関数\(\displaystyle {f(x)}\) は \({x=\sqrt{2} e}\) で極大値をとります。

以上から、増減表を作ると 以下のようになります。

また、\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\log x}{x} = 0\hspace{1pt}\)であることから $$\begin{aligned} & \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2\log x - \log 2}{x} \\[0.5em] & = \lim_{x \rightarrow \infty} \left(2 \frac{\log x }{x} - \frac{2 }{x} \right )\\[0.5em] & = 0\\[0.5em] \end{aligned}$$ となることから、\(x\hspace{1pt}\)軸が漸近線となります。

また、\(\hspace{1pt}x \rightarrow +0\hspace{1pt}\)であるとき\(\displaystyle\hspace{3pt}\log x \rightarrow -\infty \hspace{1pt}, \hspace{1pt} \frac{1}{x} \rightarrow \infty \hspace{3pt}\)であることから $${\lim_{x \rightarrow +0} \frac{\log x}{x} = - \infty}$$ となることから、\(y\hspace{1pt}\)軸が漸近線となります。

以上から、\(\displaystyle f(x)=\frac{ 2\log x - \log 2}{x}\hspace{3pt}\)のグラフは以下のようになります。

したがって、\(\displaystyle f(x)=\frac{ 2\log x - \log 2}{x}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}g(x)=a\hspace{1pt}\)の交点の個数が求める方程式の実数解の個数となるため

　\(\displaystyle a > \frac{\sqrt{2}}{e}\hspace{1pt}\)のとき\(\hspace{3pt}0\hspace{1pt}\)個

　\(\displaystyle a = \frac{\sqrt{2}}{e} , a \leqq 0\hspace{1pt}\)のとき\(\hspace{3pt}1\hspace{1pt}\)個

　\(\displaystyle 0 < a < \frac{\sqrt{2}}{e}\hspace{1pt}\)のとき\(\hspace{3pt}2\hspace{1pt}\)個

となります。