◆第問目！
ある区間において\(\hspace{1pt}f(x) > a\hspace{1pt}\)であることを証明するには、その区間で関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)の最小値が\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)であることを示します。
本問は\(\displaystyle\hspace{3pt}f(x)= e^x -\left( 1 +x+\frac{x^2}{2}\right)\hspace{1pt}\)としたときの導関数\(\hspace{1pt}f'(x)= e^x -1 -x \hspace{2pt}\)の符号がすぐに分からないため、第二次導関数\(\hspace{1pt}f''(x)\hspace{1pt}\)の符号を調べて不等式を証明します。
【解答】
\(\displaystyle e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}\hspace{1pt}\)を移項した $${ e^x -\left( 1 +x+\frac{x^2}{2}\right) > 0}$$ を証明することで、元の不等式を証明します。
\(\displaystyle f(x)= e^x -\left( 1 +x+\frac{x^2}{2}\right)\hspace{1pt}\)とすると $${f'(x) = e^x -1 -x}$$ となります。
さらに、第二次導関数\({f''(x)}\) を求めると $${f''(x) = e^x -1}$$ となります。
ここで、\(x > 0\hspace{1pt}\)において\(\hspace{1pt}e^x > 1\hspace{1pt}\)であることから、常に\(\hspace{1pt}f''(x) > 0\hspace{1pt}\)となります。
すなわち、関数\(\hspace{1pt}f'(x)\hspace{1pt}\)は増加関数となります。
さらに、\(f'(0) = 0\hspace{1pt}\)であることから、\(x > 0\hspace{1pt}\)において\(\hspace{1pt}f'(x) > 0\hspace{1pt}\)となります。
よって、\(x > 0\hspace{1pt}\)において関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)は増加関数となります。
さらに、\(f(0) = 0\hspace{1pt}\)であることから、\(x > 0\hspace{1pt}\)において\(\hspace{1pt}f(x) > 0\hspace{1pt}\)となります。
したがって、問題の不等式 $${e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2} \hspace{5pt}\left(\hspace{1pt} x > 0 \right)}$$ は成り立ちます。