◆第問目！
ある区間において\(\hspace{1pt}f(x) > a\hspace{1pt}\)であることを証明するには、その区間で関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)の最小値が\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)であることを示します。
本問は\(\displaystyle\hspace{3pt}f(x)= \cos x - 1 +\frac{x^2}{2}\hspace{1pt}\)としたときの導関数\(\hspace{1pt}f'(x)= -\sin x +x \hspace{1pt}\)の符号がすぐに分からないため、第二次導関数\(\hspace{1pt}f''(x)\hspace{1pt}\)の符号を調べて不等式を証明します。
【解答】
\(\displaystyle \cos x > 1 -\frac{x^2}{2}\hspace{1pt}\)を移項した $${\cos x - 1 +\frac{x^2}{2} > 0}$$ を証明することで、元の不等式を証明します。
\(\displaystyle f(x)=\cos x - 1 +\frac{x^2}{2}\hspace{1pt}\)とすると $${f'(x) = -\sin x + x}$$ となります。
さらに、第二次導関数\({f''(x)}\) を求めると $${f''(x) = -\cos x + 1}$$ となります。
ここで、\(-1 \leqq \cos x \leqq 1\hspace{1pt}\)であることから、常に\(\hspace{1pt}f''(x) \geqq 0\hspace{1pt}\)となります。
すなわち、関数\(\hspace{1pt}f'(x)\hspace{1pt}\)は増加関数となります。
さらに、\(f'(0) = 0\hspace{1pt}\)であることから、\(x > 0\hspace{1pt}\)において\(\hspace{1pt}f'(x) > 0\hspace{1pt}\)となります。
よって、\(x > 0\hspace{1pt}\)において、関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)は増加関数となります。
さらに、\(f(0) = 0\hspace{1pt}\)であることから、\(x > 0\hspace{1pt}\)において\(\hspace{1pt}f(x) > 0\hspace{1pt}\)となります。
したがって、問題の不等式 $${ \cos x > 1 -\frac{x^2}{2} \hspace{5pt}\left(\hspace{1pt} x > 0 \right)}$$ は成り立ちます。