減衰曲線の最大値・最小値

【解答のポイント】
最大値・最小値を求める問題は、定義域の両端や極大値・極小値の値を増減表に整理して求めます。

本問の関数は、積の微分公式

を使用します。

また、指数関数の微分公式 $$(e^x)' = e^x$$ と三角関数の微分公式 $$(\sin x)' = \cos x$$ を用います。

【解答】
\(\displaystyle {f(x)= e^{-x} \sin x}\) とすると

となります。

次に \({f'(x)=0}\) を満たす\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)を求めます。

\(e^{-x} > 0\hspace{1pt}\)であることから $${\sin \left( x - \frac{\pi}{4}\right) = 0}$$ を満たす\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)において\(\hspace{1pt}f'(x)=0\hspace{1pt}\)となります。

ここで、定義域は\(\hspace{1pt} 0 \leqq x \leqq 2\pi\hspace{1pt}\)であることから $${- \frac{\pi}{4} \leqq x - \frac{\pi}{4} \leqq \frac{7}{4} \pi}$$ であるので、\({f'(x)=0}\) を満たす\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)は $${ x - \frac{\pi}{4} = 0 , \pi}$$ から $${ x = \frac{\pi}{4} , \frac{5}{4}\pi }$$ となります。

ここで、\(\displaystyle x = \frac{\pi}{4} , \frac{5}{4}\pi\hspace{1pt}\)の前後における\(\displaystyle{\hspace{1pt}f'(x)\hspace{1pt}}\)の符号を調べます。

　\({\displaystyle 0 < x < \frac{\pi}{4}}\)　　のとき \({f'(x) > 0}\)

　\({\displaystyle \frac{\pi}{4} < x < \frac{5}{4}\pi}\) 　 のとき \({f'(x) < 0}\)

　\({\displaystyle \frac{5}{4}\pi < x < 2 \pi}\) 　のとき \({f'(x) > 0}\)

以上から、関数 \(\displaystyle {f(x)}\) は\(\displaystyle {\hspace{2pt}x=\frac{5}{4}\pi}\) で極小値、\({\displaystyle \hspace{2pt}x=\frac{\pi}{4}}\) で極大値をとります。

増減表を作ると 以下のようになります。

上記の増減表から
\({\displaystyle x=\frac{\pi}{4}}\) で最大値\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{\pi}{4}}}\hspace{1pt}\)

\({\displaystyle x=\frac{5}{4}\pi}\) で最小値\(\displaystyle\hspace{1pt}-\frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{5}{4}\pi}}\hspace{1pt}\)

となります。