logxの第n次導関数を数学的帰納法で証明する問題

【解答のポイント】

数学的帰納法から

について 『\(\hspace{1pt}n=1\hspace{1pt}\)のとき(1)が成り立つこと』と
『\(\hspace{1pt}n=k\hspace{1pt}\)のとき(1)が成り立つと仮定すると\(\hspace{1pt}n=k+1\hspace{1pt}\)のときにも(1)が成り立つこと』を示します。

【解答】

とします。

[1] \(\hspace{1pt}n=1\hspace{1pt}\)のとき $${\frac{d}{dx} \log x =\frac{1}{x}}$$ となります。

また、(1)の右辺は $${ (-1)^{0}\frac{0!}{x^1} = \frac{1}{x}}$$ であることから、(1)は成り立ちます。

[2] \(\hspace{1pt} n = k \hspace{1pt}\)のとき(1)が成り立つと仮定します。

(2)式において\(\hspace{1pt}n=k+1\hspace{1pt}\)としたとき、左辺を変形すると以下のようになります。

ここで、 $$\begin{aligned} \hspace{10pt} \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x^k} \right) & = \frac{d}{dx} \left(x^{-k} \right)\hspace{10pt}\\[1em] \hspace{10pt} & = -k x^{-k-1} \hspace{10pt}\\[1em] \hspace{10pt} & = -k \frac{1}{x^{k+1}} \hspace{10pt}\\[1em] \end{aligned}$$ であることから

よって、\(\hspace{1pt}n=k+1\hspace{1pt}\)のときにも(1)式は成り立ちます。

[1],[2] から、すべての自然数\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)について(1)式は成り立ちます。