◆第問目！
数学的帰納法から
$${\frac{d^{n}}{dx^{n}} \cos x = \cos \left( x + \frac{n}{2}\pi \right) \cdots (1)}$$
について
『\(\hspace{1pt}n=1\hspace{1pt}\)のとき(1)が成り立つこと』と
『\(\hspace{1pt}n=k\hspace{1pt}\)のとき(1)が成り立つと仮定すると\(\hspace{1pt}n=k+1\hspace{1pt}\)のときにも(1)が成り立つこと』を示します。
【解答のポイント】
数学的帰納法から
$${\frac{d^{n}}{dx^{n}} \cos x = \cos \left( x + \frac{n}{2}\pi \right) \cdots (1)}$$
について
『\(\hspace{1pt}n=1\hspace{1pt}\)のとき(1)が成り立つこと』と
『\(\hspace{1pt}n=k\hspace{1pt}\)のとき(1)が成り立つと仮定すると\(\hspace{1pt}n=k+1\hspace{1pt}\)のときにも(1)が成り立つこと』を示します。
【解答】
$${\frac{d^{n}}{dx^{n}} \cos x = \cos \left( x + \frac{n }{2}\pi \right) \cdots (1)}$$
とします。
[1] \(\hspace{1pt}n=1\hspace{1pt}\)のとき $${\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x}$$ となります。
ここで、三角関数の性質から $${-\sin x = \cos \left( x +\frac{\pi}{2} \right)}$$ であることから、(1)は成り立ちます。
[2] \(\hspace{1pt} n = k \hspace{1pt}\)のとき(1)が成り立つと仮定します。 $${\frac{d^{k}}{dx^{k}} \cos x = \cos \left( x + \frac{k}{2}\pi \right) \cdots (2)}$$ (2)式において\(\hspace{1pt}n=k+1\hspace{1pt}\)としたとき、左辺を変形すると以下のようになります。
ここで、三角関数の性質から
よって、\(\hspace{1pt}n=k+1\hspace{1pt}\)のときにも(1)式は成り立ちます。
[1],[2] から、すべての自然数\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)について(1)式は成り立ちます。