◆第問目！
問題の方程式の両辺を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)について微分して\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{dy}{dx}\hspace{1pt}\)を求めます。
方程式に含まれる\(\hspace{1pt}\cos y\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)について微分するときは、合成関数の微分から $$\begin{aligned} \frac{d(\cos y)}{dx} & = \frac{d(\cos y)}{dy}\frac{dy}{dx}\\[0.8em] &= - \sin y \frac{dy}{dx} \\[0.5em] \end{aligned}$$ となります。
つまり、『\(\hspace{1pt}\cos y\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}y\hspace{1pt}\)で微分した\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{d(\cos y)}{dy}\hspace{1pt}\)』と『\(\hspace{1pt}y\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)で微分した\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{dy}{dx}\hspace{1pt}\)』の積として計算します。
【解答のポイント】
問題の方程式の両辺を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)について微分して\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{dy}{dx}\hspace{1pt}\)を求めます。
方程式に含まれる\(\hspace{1pt}\cos y\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)について微分するときは、合成関数の微分から $$\begin{aligned} \frac{d(\cos y)}{dx} & = \frac{d(\cos y)}{dy}\frac{dy}{dx}\\[0.8em] &= - \sin y \frac{dy}{dx} \\[0.5em] \end{aligned}$$ となります。
【解答】
問題の方程式
$${\sin x +\cos y =1}$$
の両辺を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)について微分すると
$${\cos x -\sin y \cdot \frac{dy}{dx} = 0}$$
すなわち、\(\sin y \neq 0\hspace{1pt}\)のとき
$${\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{\sin y}}$$
となります。