◆第問目！
問題の方程式の両辺を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)について微分して\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{dy}{dx}\hspace{1pt}\)を求めます。
方程式に含まれる\(\hspace{1pt}y^2\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)について微分するときは、合成関数の微分から $$\begin{aligned} \frac{d (y^2 )}{dx} & = \frac{d(y^2)}{dy}\frac{dy}{dx}\\[0.8em] &= 2y \frac{dy}{dx} \\[0.5em] \end{aligned}$$ となります。
つまり、『\(\hspace{1pt}y^2\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}y\hspace{1pt}\)で微分した\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{d(y^2)}{dy}\hspace{1pt}\)』と『\(\hspace{1pt}y\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)で微分した\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{dy}{dx}\hspace{1pt}\)』の積として計算します。
また、方程式に含まれる\(\hspace{1pt}xy\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)について微分するときは、積の微分公式から $${ (xy)'= x'y + x y'}$$ と計算します。
【解答のポイント】
問題の方程式の両辺を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)について微分して\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{dy}{dx}\hspace{1pt}\)を求めます。
方程式に含まれる\(\hspace{1pt}y^2\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)について微分するときは、合成関数の微分から $$\begin{aligned} \frac{d (y^2 )}{dx} & = \frac{d(y^2)}{dy}\frac{dy}{dx}\\[0.8em] &= 2y \frac{dy}{dx} \\[0.5em] \end{aligned}$$ となります。
また、方程式に含まれる\(\hspace{1pt}xy\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)について微分するときは、積の微分公式から $${ (xy)'= x'y + x y'}$$ と計算します。
【解答】
問題の方程式
$${x^2 -xy -y^2 =1}$$
の両辺を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)について微分すると
すなわち、\(x+2y \neq 0\hspace{1pt}\)のとき $${\frac{dy}{dx} = \frac{2x -y}{x+2y}}$$ となります。