◆第問目！
問題の関数は対数微分法により微分できます。
対数微分法とは、関数の両辺に対数を取って微分する手法です。問題の関数の両辺に対数を取ると $$\begin{aligned} \log y & =\log \frac{1}{x^{x \log x}}\\[0.5em] & = - \log x^{x \log x} \hspace{10pt}\\[0.5em] & = - x \log x \cdot \log x \hspace{10pt}\\[0.5em] & = - x (\log x)^2 \hspace{10pt}\\[0.5em] \end{aligned}$$ となります。上式の両辺を\({\hspace{1pt}x\hspace{1pt}}\)で微分することで計算します。
【解答】
問題の関数は対数微分法により微分できます。
問題の関数は\(\hspace{1pt} x > 0\hspace{1pt}\)であることから、\(\displaystyle \frac{1}{x^{x \log x}}>0\hspace{1pt}\)となります。
両辺に自然対数を取ると $$\begin{aligned} \log y & =\log \frac{1}{x^{x \log x}}\\[0.5em] & = - \log x^{x \log x} \hspace{10pt}\\[0.5em] & = - x \log x \cdot \log x \hspace{10pt}\\[0.5em] & = - x (\log x)^2 \hspace{10pt}\\[0.5em] \end{aligned}$$ となります。上式の両辺を\({\hspace{1pt}x\hspace{1pt}}\)で微分すると、合成関数の微分から\(\displaystyle\hspace{1pt}(\log y)'=\frac{y'}{y}\hspace{1pt}\)であることから
すなわち
となります。
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