【解答】
合成関数の微分公式
$${\hspace{10pt}\{f(\hspace{1pt}g(x))\}' = f'(\hspace{1pt}g(x))\hspace{1pt}g'(x)\hspace{10pt}}$$
から微分します。
$${\sqrt{x+\sqrt{x}} = (x+x^\frac{1}{2})^\frac{1}{2}}$$
であることから微分すると
$$\begin{aligned}
\hspace{10pt}y' & =\frac{1}{2} (x+x^\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}}(x+x^\frac{1}{2})'\hspace{10pt}\\[1em]
& = \frac{1}{2} (x+x^\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}}\left(1+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\right)\hspace{10pt}\\[1em]
& = \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x+\sqrt{x}}}\left(1+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\\[1em]
& = \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x+\sqrt{x}}}\frac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}\\[1em]
& =\frac{2\sqrt{x}+1}{4\sqrt{x^2+x\sqrt{x}}}\\[1em]
\end{aligned}$$
となります。
【関連するページ】
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