指数関数を含む方程式の実数解の個数
◆第問目！
必要であれば \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow - \infty} x^2e^x = 0\hspace{1pt}\)であることを用いてよい
本問のような定数\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)を含む方程式の実数解の個数は定数分離を用いることで、\(\hspace{1pt}y=x^2 e^x\hspace{1pt}\)のグラフと\(\hspace{1pt}y = a\hspace{1pt}\)の交点の個数から求めることができます。
そのため、増減表を作成し\(\hspace{1pt}y=x^2 e^x\hspace{1pt}\)のグラフをかくことで実数解の個数を求められます。
\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の定義域が実数全体の場合は、\((x \rightarrow \infty ) ,(x \rightarrow - \infty )\hspace{1pt}\)における極限値を調べることを忘れないように注意が必要です。
【解答】
問題の方程式の右辺と左辺をそれぞれ $$\begin{aligned} f(x) & = x^2 e^x\\[0.5em] g(x) & = a\\[0.5em] \end{aligned}$$ とします。このとき、2つの関数の交点の個数が元の方程式の解の個数となります。
\(f(x)=x^2 e^x\hspace{1pt}\)とすると $$\begin{aligned} f'(x) & =2x \cdot e^x + x^2 e^x\\[0.5em] & = xe^x(2+x)\\[0.5em] \end{aligned}$$ となります。
\({f'(x)=0}\) を解くと $${xe^x(2+x) = 0}$$ から \(x = -2 , 0\hspace{1pt}\)となります。
ここで、\(\displaystyle x =-2 , 0 \hspace{1pt}\)の前後における \(\displaystyle{f'(x)}\) の符号の変化を調べます。
\({f'(x)=xe^x(2+x) }\) より
\({\displaystyle \hspace{10pt} x < -2}\) のとき \({f'(x) > 0}\)
\({\displaystyle \hspace{10pt} -2 < x < 0\hspace{2pt}}\) のとき \({f'(x) < 0}\)
\({\displaystyle \hspace{10pt} x > 0}\) のとき \({f'(x) > 0}\)
となります。
よって、関数\(\displaystyle {f(x)}\) は \({\displaystyle x = -2}\) で極大値、\({\displaystyle x = 0}\) で極小値をとります。
以上から、増減表を作ると 以下のようになります。
\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow - \infty} x^2e^x = 0\hspace{1pt}\)から、関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)は\(x\hspace{1pt}\)軸が漸近線となります。
また、\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} x^2e^x = \infty\hspace{1pt}\)となります。
以上から、\(f(x)=x^2 e^x \hspace{1pt}\)のグラフは以下のようになります。
したがって、\(y=x^2 e^x\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}y=a\hspace{1pt}\)の交点の個数が、方程式\(\hspace{1pt}x^2 e^x=a\hspace{1pt}\)の実数解の個数となることから
\(\displaystyle a < 0 \hspace{3pt}\)のとき\(\hspace{3pt}0\hspace{1pt}\)個
\(\displaystyle a = 0, a > \frac{4}{e^2} \hspace{3pt}\)のとき\(\hspace{3pt}1\hspace{1pt}\)個
\(\displaystyle a = \frac{4}{e^2}\hspace{3pt}\)のとき\(\hspace{3pt}2\hspace{1pt}\)個
\(\displaystyle 0 < a < \frac{4}{e^2}\hspace{3pt}\)のとき\(\hspace{3pt}3\hspace{1pt}\)個
となります。