三角関数を含む方程式の実数解の個数を求める問題

【解答】

\(f(x)=2 \sin x - x\hspace{1pt}\)とすると $${f'(x) = 2 \cos x -1}$$ となります。

\({f'(x)=0}\) を解くと $$\begin{aligned} 2 \cos x -1 & =0\\[0.5em] \cos x & = \frac{1}{2}\\[0.5em] \end{aligned}$$ よって、定義域\(\hspace{3pt}( 0 \leqq x \leqq 2 \pi)\hspace{1pt}\)の範囲で解くと\(\displaystyle\hspace{3pt}x = \frac{\pi}{3} , \frac{5}{3}\pi \hspace{1pt}\)となります。

ここで、\(\displaystyle x =\frac{\pi}{3} , \frac{5}{3}\pi \hspace{1pt}\)の前後における \(\displaystyle{f'(x)}\) の符号の変化を調べます。

\({f'(x)=2 \cos x -1 }\) より

\({\displaystyle \hspace{10pt}0 < x < \frac{\pi}{3}}\)　　のとき \({f'(x) > 0}\)

\({\displaystyle \hspace{10pt} \frac{\pi}{3} < x < \frac{5}{3}\pi\hspace{2pt}}\) のとき \({f'(x) < 0}\)

\({\displaystyle \hspace{10pt} \frac{5}{3}\pi < x < 2\pi}\)　のとき \({f'(x) > 0}\)

となります。

よって、関数\(\displaystyle {f(x)}\) は \({\displaystyle x = \frac{\pi}{3}}\) で極大値、\({\displaystyle x = \frac{5}{3}\pi}\) で極小値をとります。

以上から、増減表を作ると 以下のようになります。

上記の増減表から、\(f(x)=2 \sin x - x\hspace{1pt}\)のグラフは以下のようになります。

以上から、\(y=2 \sin x - x\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}x\hspace{1pt}\)軸の交点の個数が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個であることから、方程式\(\hspace{1pt}2 \sin x - x=0\hspace{1pt}\)の実数解の個数は\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個となります。