三角関数を含む方程式の実数解の個数を求める問題

【解答】

$f(x)=2 \sin x - x\hspace{1pt}$とすると $${f'(x) = 2 \cos x -1}$$ となります。

${f'(x)=0}$ を解くと $$\begin{aligned} 2 \cos x -1 & =0\\[0.5em] \cos x & = \frac{1}{2}\\[0.5em] \end{aligned}$$ よって、定義域$\hspace{3pt}( 0 \leqq x \leqq 2 \pi)\hspace{1pt}$の範囲で解くと$\displaystyle\hspace{3pt}x = \frac{\pi}{3} , \frac{5}{3}\pi \hspace{1pt}$となります。

ここで、$\displaystyle x =\frac{\pi}{3} , \frac{5}{3}\pi \hspace{1pt}$の前後における $\displaystyle{f'(x)}$ の符号の変化を調べます。

${f'(x)=2 \cos x -1 }$ より

${\displaystyle \hspace{10pt}0 < x < \frac{\pi}{3}}$　　のとき ${f'(x) > 0}$

${\displaystyle \hspace{10pt} \frac{\pi}{3} < x < \frac{5}{3}\pi\hspace{2pt}}$ のとき ${f'(x) < 0}$

${\displaystyle \hspace{10pt} \frac{5}{3}\pi < x < 2\pi}$　のとき ${f'(x) > 0}$

となります。

よって、関数$\displaystyle {f(x)}$ は ${\displaystyle x = \frac{\pi}{3}}$ で極大値、${\displaystyle x = \frac{5}{3}\pi}$ で極小値をとります。

以上から、増減表を作ると 以下のようになります。

上記の増減表から、$f(x)=2 \sin x - x\hspace{1pt}$のグラフは以下のようになります。

以上から、$y=2 \sin x - x\hspace{2pt}$と$\hspace{2pt}x\hspace{1pt}$軸の交点の個数が$\hspace{1pt}2\hspace{1pt}$個であることから、方程式$\hspace{1pt}2 \sin x - x=0\hspace{1pt}$の実数解の個数は$\hspace{1pt}2\hspace{1pt}$個となります。