◆第問目!
本問のような方程式の実数解の個数は\(\hspace{1pt}y=2 \sin x - x\hspace{1pt}\)のグラフと\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸の交点の個数から求めることができます。
そのため、増減表を作成し\(\hspace{1pt}y=2 \sin x - x\hspace{1pt}\)のグラフをかくことで実数解の個数を求められます。
【解答】
\(f(x)=2 \sin x - x\hspace{1pt}\)とすると $${f'(x) = 2 \cos x -1}$$ となります。
\({f'(x)=0}\) を解くと $$\begin{aligned} 2 \cos x -1 & =0\\[0.5em] \cos x & = \frac{1}{2}\\[0.5em] \end{aligned}$$ よって、定義域\(\hspace{3pt}( 0 \leqq x \leqq 2 \pi)\hspace{1pt}\)の範囲で解くと\(\displaystyle\hspace{3pt}x = \frac{\pi}{3} , \frac{5}{3}\pi \hspace{1pt}\)となります。
ここで、\(\displaystyle x =\frac{\pi}{3} , \frac{5}{3}\pi \hspace{1pt}\)の前後における \(\displaystyle{f'(x)}\) の符号の変化を調べます。
\({f'(x)=2 \cos x -1 }\) より
\({\displaystyle \hspace{10pt}0 < x < \frac{\pi}{3}}\) のとき \({f'(x) > 0}\)
\({\displaystyle \hspace{10pt} \frac{\pi}{3} < x < \frac{5}{3}\pi\hspace{2pt}}\) のとき \({f'(x) < 0}\)
\({\displaystyle \hspace{10pt} \frac{5}{3}\pi < x < 2\pi}\) のとき \({f'(x) > 0}\)
となります。
よって、関数\(\displaystyle {f(x)}\) は \({\displaystyle x = \frac{\pi}{3}}\) で極大値、\({\displaystyle x = \frac{5}{3}\pi}\) で極小値をとります。
以上から、増減表を作ると 以下のようになります。
上記の増減表から、\(f(x)=2 \sin x - x\hspace{1pt}\)のグラフは以下のようになります。
以上から、\(y=2 \sin x - x\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}x\hspace{1pt}\)軸の交点の個数が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個であることから、方程式\(\hspace{1pt}2 \sin x - x=0\hspace{1pt}\)の実数解の個数は\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)個となります。