不等式 √x > logx の証明

【解答】

\(\sqrt{x} > \log x\hspace{1pt}\)を移項した $${\sqrt{x} - \log x > 0}$$ を証明することで、元の不等式を証明します。

\(f(x)=\sqrt{x} - \log x\hspace{1pt}\)とすると $$\begin{aligned} f'(x) & = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x}\\[0.5em] & = \frac{\sqrt{x} - 2}{2x}\\[0.5em] \end{aligned}$$ となります。

\({f'(x)=0}\) を解くと $$\begin{aligned} \sqrt{x} - 2 & =0\\[0.5em] \sqrt{x} & =2\\[0.5em] x & =4\\[0.5em] \end{aligned}$$ となります。

ここで、\(x = 4\hspace{1pt}\)の前後における \(\displaystyle{f'(x)}\) の符号の変化を調べます。

\({\displaystyle f'(x)=\frac{\sqrt{x} - 2}{2x} }\) より
　\({0 < x < 4}\)　 のとき \({f'(x) < 0}\)
　\({ x > 4\hspace{2pt}}\) 　　　のとき \({f'(x) > 0}\)
となります。

よって、関数\(\displaystyle {f(x)}\) は \({x=4}\) で極小値をとります。

以上から、増減表を作ると 以下のようになります。

増減表から、関数\(\displaystyle {f(x)}\) は \({x > 0}\) において\(\hspace{1pt}x=4\hspace{1pt}\)で最小値となります。

\(f(4)\hspace{1pt}\)の値は $$\begin{aligned} f(4) & = \sqrt{4} - \log 4\\[0.5em] & =2 - \log 2^2\\[0.5em] & =2 - 2\log 2\\[0.5em] & =2(1 - \log 2)\\[0.5em] \end{aligned}$$ であり、\( 0 < \log 2 < 1\hspace{1pt}\)であることから $${f(4) = 2(1 - \log 2) > 0}$$ となります。

すなわち、関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)は\(\hspace{3pt}x > 0\hspace{1pt}\)において\(\hspace{1pt}f(x) > 0\hspace{1pt}\)であるため、問題の不等式 $${ \sqrt{x} > \log x \hspace{5pt}\left(\hspace{1pt} x > 0 \right)}$$ は成り立ちます。