◆第問目！
ある区間において\(\hspace{1pt}f(x) > a\hspace{1pt}\)であることを証明するには、その区間で関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)の最小値が\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)より大きいことを示します。
本問は、両辺に変数\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)があるため、移項して\(\hspace{1pt}f(x) > a\hspace{1pt}\)の式に変形して証明します。
【解答】
\( x > \log (x+1)\hspace{1pt}\)を移項した $${x - \log (x+1) > 0}$$ を証明することで、元の不等式を証明します。
\(f(x)=x - \log (x+1)\hspace{1pt}\)とすると $$\begin{aligned} f'(x) & = 1 - \frac{1}{x+1}\\[0.5em] & = \frac{x}{x+1}\\[0.5em] \end{aligned}$$ となります。
すなわち、\({f'(x)}\) は\(\hspace{1pt}x > 0\hspace{1pt}\)において常に\(\hspace{1pt}f'(x)>0\hspace{1pt}\)となります。
よって、関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)は\(\hspace{1pt}x > 0\hspace{1pt}\)において増加関数となります。
また、\(f(0) = 0\hspace{1pt}\)であることから、\(\hspace{1pt}x > 0\hspace{1pt}\)において $${f(x) > 0}$$ が成り立ちます。
したがって $${x > \log (x+1) \hspace{3pt}\left(\hspace{1pt} x > 0 \right)}$$ が成り立ちます。