三角関数を含む関数の最大値・最小値
◆第問目！
最大値・最小値を求める問題は、定義域の両端や極大値・極小値の値を増減表に整理して求めます。
本問の関数は、商の微分公式
を使用して微分します。
また、三角関数の微分公式 $$\begin{aligned} (\sin x)' & = \cos x\\[0.5em] (\cos x)' & = -\sin x\\[0.5em] \end{aligned}$$ を用います。
【解答】
\(\displaystyle {f(x)=\frac{\sin x}{2 -\cos x}}\) とすると
となります。
次に \({f'(x)=0}\) を満たす\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)を求めると
$${2 \cos x -1 = 0}$$ すなわち $${ \cos x = \frac{1}{2}}$$ を定義域\(\hspace{2pt} 0 \leqq x \leqq 2\pi\hspace{1pt}\)の範囲で解くと $${ x= \frac{\pi}{3} , \frac{5}{3}\pi }$$ となります。
ここで、\(\displaystyle x = \frac{\pi}{3} , \frac{5}{3}\pi \hspace{1pt}\)の前後における\(\displaystyle{\hspace{1pt}f'(x)\hspace{1pt}}\)の符号を調べます。
\({\displaystyle 0 < x < \frac{\pi}{3}}\) のとき \({f'(x) > 0}\)
\({\displaystyle \frac{\pi}{3} < x <\frac{5}{3}\pi}\) のとき \({f'(x) < 0}\)
\({\displaystyle \frac{5}{3}\pi < x < 2 \pi}\) のとき \({f'(x) > 0}\)
以上から、関数 \(\displaystyle {f(x)}\) は\(\displaystyle {\hspace{2pt}x= \frac{5}{3}\pi}\) で極小値、\({\displaystyle \hspace{2pt}x= \frac{\pi}{3}}\) で極大値をとります。
以上から、増減表を作ると 以下のようになります。
上記の増減表から関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{1pt}\)は
\({\displaystyle\hspace{1pt}x=\frac{\pi}{3}\hspace{1pt}}\)で最大値\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{\sqrt{3}}{3}\hspace{1pt}\)
\({\displaystyle\hspace{1pt}x= \frac{5}{3}\pi\hspace{1pt}}\)で最小値\(\displaystyle\hspace{1pt}-\frac{\sqrt{3}}{3}\hspace{1pt}\)
をとります。