分数関数のグラフ
◆第問目！
関数のグラフは
① 導関数\(\hspace{1pt}y'\hspace{1pt}\)を求める
② \(y'=0\hspace{1pt}\)となる\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の前後で\(\hspace{1pt}y'\hspace{1pt}\)の符号の変化を調べる
③ 第二次導関数\(\hspace{1pt}y''\hspace{1pt}\)を求める
④ \(y''=0\hspace{1pt}\)となる\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の前後で\(\hspace{1pt}y''\hspace{1pt}\)の符号の変化を調べる
という手順で増減表を作った後、増減表を参考にグラフをかきます。
必要であれば、座標軸との交点、漸近線、グラフの対称性なども調べてグラフをかきます。
また、問題文の変曲点とは『\(y''=0\hspace{1pt}\)となる\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の前後で\(\hspace{1pt}y''\hspace{1pt}\)の符号の変化する点』のことをいいます。
【解答】
\(\displaystyle {f(x)=\frac{2x}{x^2+1}}\) とすると
となります。
\({f'(x)=0}\) を解くと $${\frac{-2(x+1)(x-1) }{(x^2+1)^2} = 0}$$ から、\({x= \pm 1}\) となります。
ここで、\(\displaystyle{f'(x)}\) の符号を調べます。
\({x < -1}\) のとき \({f'(x) < 0}\)
\({-1 < x < 1}\) のとき \({f'(x) > 0}\)
\({ x > 1}\) のとき \({f'(x) < 0}\)
以上から、関数 \(\displaystyle {f(x)}\) は、\({x=-1}\) で極小値、\({x=1}\) で極大値をとります。
また、第二次導関数は
すなわち、\({f''(x)=0}\) を解くと \(\hspace{1pt}x = 0 , \pm \sqrt{3}\hspace{1pt}\)となります。
ここで、\(\displaystyle{f''(x)}\) の符号を調べます。
\(\displaystyle{x < -\sqrt{3}}\) のとき \({f''(x) < 0}\)
\(\displaystyle{-\sqrt{3} < x < 0 }\) のとき \({f''(x) > 0}\)
\(\displaystyle{ 0 < x < \sqrt{3} }\) のとき \({f''(x) < 0}\)
\(\displaystyle{ x > \sqrt{3} }\) のとき \({f''(x) > 0}\)
よって、関数 \(\displaystyle {f(x)}\) は \(\displaystyle{x=0 , \pm \sqrt{3}}\) に変曲点を持ちます。
以上から、増減表を作ると 以下のようになります。
また、\(x \rightarrow\hspace{1pt}\infty\)における極限値を求めると $$\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow\hspace{1pt}\infty} \frac{2x}{x^2+1}& =\lim_{x \rightarrow\hspace{1pt}\infty} \frac{2\cdot \frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}\\[0.8em] & =0\\[0.8em] \end{aligned}$$ また、\(x \rightarrow\hspace{1pt}-\infty\)における極限値も同様に $${ \lim_{x \rightarrow\hspace{1pt}-\infty} \frac{2x}{x^2+1} = 0}$$ となります。
よって、関数\(\displaystyle {f(x)}\) は\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸が漸近線となります。
以上からグラフを描くと、以下のようになります。
