四次関数のグラフ
◆第問目！
関数のグラフは
① 導関数\(\hspace{1pt}y'\hspace{1pt}\)を求める
② \(y'=0\hspace{1pt}\)となる\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の前後で\(\hspace{1pt}y'\hspace{1pt}\)の符号の変化を調べる
③ 第二次導関数\(\hspace{1pt}y''\hspace{1pt}\)を求める
④ \(y''=0\hspace{1pt}\)となる\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の前後で\(\hspace{1pt}y''\hspace{1pt}\)の符号の変化を調べる
という手順で増減表を作った後、増減表を参考にグラフをかきます。
必要であれば、座標軸との交点、漸近線、グラフの対称性なども調べてグラフをかきます。
また、問題文の変曲点とは『\(y''=0\hspace{1pt}\)となる\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の前後で\(\hspace{1pt}y''\hspace{1pt}\)の符号の変化する点』のことをいいます。
【解答】
\(\displaystyle {f(x)=x^4-2x^2}\) とすると
$${f'(x)=4x^3-4x}$$
となります。
\({f'(x)=0}\) を解くと $$\begin{aligned} 4x^3-4x& =0\\[0.5em] 4x(x^2-1) & =0\\[0.5em] 4x(x+1)(x-1) & =0\\[0.5em] \end{aligned}$$
したがって、\({x=-1,\hspace{2pt}0,\hspace{2pt}1}\) のとき \({f'(x)=0}\) となります。
ここで、\(\displaystyle{f'(x)}\) の符号を調べます。
\({x < -1}\) のとき \({f'(x) < 0}\)
\({-1 < x < 0}\) のとき \({f'(x) > 0}\)
\({0 < x < 1}\) のとき \({f'(x) < 0}\)
\({ x > 1}\) のとき \({f'(x) > 0}\)
以上から、関数 \(\displaystyle {f(x)}\) は、\({x=-1,\hspace{1pt}1}\) で極小値、\({x=0}\) で極大値をとります。
また、第二次導関数を調べると \(\displaystyle{f''(x)=12x^2-4}\) となります。
\({f''(x)=0}\) を解くと $$\begin{aligned} 12x^2-4& =0\\[0.5em] x^2 & =\frac{1}{3}\\[0.5em] x & = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \\[0.5em] \end{aligned}$$
ここで、\(\displaystyle{f''(x)}\) の符号を調べます。
\(\displaystyle{x < -\frac{1}{\sqrt{3}}}\) のとき \({f''(x) > 0}\)
\(\displaystyle{-\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{3}}}\) のとき \({f''(x) < 0}\)
\(\displaystyle{ x > \frac{1}{\sqrt{3}}}\) のとき \({f''(x) > 0}\)
以上から、関数 \(\displaystyle {f(x)}\) は、\(\displaystyle{x=-\frac{1}{\sqrt{3}},\hspace{1pt}\frac{1}{\sqrt{3}}}\) に変曲点を持ちます。
以上から、増減表を作ると 以下のようになります。
この増減表からグラフを描くと、以下のようになります。
