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媒介変数表示された関数の微分

◆第問目！

【 数Ⅲ : 難易度 ★ 】
　\(x\hspace{2pt}\)の関数\(\hspace{2pt}y\hspace{2pt}\)が媒介変数\(\hspace{2pt}t\hspace{2pt}\)により次の式で表されるとき, \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{dy}{dx}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)の関数で表せ $${\displaystyle x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\hspace{1pt},\hspace{2pt}y=\frac{2t}{1+t^2}}$$

媒介変数\(\hspace{2pt}t\hspace{2pt}\)により\(\hspace{1pt}x=f(t)\hspace{1pt},\hspace{2pt}y=g(t)\hspace{2pt}\)と表されるとき\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{dy}{dx}\hspace{1pt}\)は $${ \frac{dy}{dx}=\Large \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}}$$ と求められます。

【解答のポイント】
媒介変数\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)により\(\hspace{1pt}x=f(t)\hspace{1pt},\hspace{2pt}y=g(t)\hspace{2pt}\)と表されるとき\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{dy}{dx}\hspace{1pt}\)は $${ \frac{dy}{dx}=\Large \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}}$$ と求められます。

【解答】
\(x\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)で微分すると

$$\begin{aligned} \hspace{10pt} \frac{dx}{dt} & = \frac{(1-t^2)'(1+t^2)-(1-t^2)(1+t^2)'}{(1+t^2)^2}\hspace{10pt}\\[1.5em] & = \frac{-2t(1+t^2)-(1-t^2)\cdot 2t}{(1+t^2)^2}\\[1em] & = \frac{-2t-2t^3 -2t +2t^3}{(1+t^2)^2}\\[1em] & = \frac{-4t}{(1+t^2)^2}\\[1em] \end{aligned}$$

\(y\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)で微分すると

$$\begin{aligned} \hspace{10pt} \frac{dy}{dt} & = \frac{(2t)'(1+t^2)-2t (1+t^2)'}{(1+t^2)^2}\hspace{10pt}\\[1.5em] & = \frac{2(1+t^2)-2t \cdot 2t}{(1+t^2)^2}\\[1em] & = \frac{2+2t^2 -4t^2}{(1+t^2)^2}\\[1em] & = \frac{2 -2t^2}{(1+t^2)^2}\\[1em] & = \frac{2(1-t^2)}{(1+t^2)^2}\\[1em] \end{aligned}$$

よって、\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{dy}{dx}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)の関数で表すと $$\begin{aligned} \hspace{10pt}\frac{dy}{dx} & = \Large \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\hspace{10pt}\\[2em] & = \Large \frac{\frac{2(1-t^2)}{(1+t^2)^2}}{\frac{-4t}{(1+t^2)^2}}\\[2em] & =\frac{2(1-t^2)}{-4t}\\[1.5em] & =\frac{t^2-1}{2t}\\[1em] \end{aligned}$$

となります。

【出題範囲】　【難易度】



　



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