媒介変数表示されたサイクロイドの微分

【解答のポイント】
媒介変数\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)により\(\hspace{1pt}x=f(t)\hspace{1pt},\hspace{2pt}y=g(t)\hspace{2pt}\)と表されるとき\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{dy}{dx}\hspace{1pt}\)は $${ \frac{dy}{dx}=\Large \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}}$$ と求められます。

【解答】
\(x\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)で微分すると $${\frac{dx}{dt} = 2(1-\cos t)}$$ \(y\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)で微分すると $${\frac{dy}{dt} = 2 \sin t}$$ よって、\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{dy}{dx}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)の関数で表すと $$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} & = \Large \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\\[1.5em] & = \frac{ 2 \sin t}{2(1-\cos t)}\\[1em] & = \frac{\sin t}{1-\cos t}\\[1em] \end{aligned}$$

となります。